(I)设α1,α2,…,αn为n个n维线性无关的向量,且β与α1,α2,…,αn正交,证明:β=0, (Ⅱ)设α1,α2,…,αn-1为n-1个n维线性无关的向量,α1,α2,…,αn-1与非零向量β1,β2正交,证明:β1,β2线性相关

admin2016-03-18  31

问题 (I)设α1,α2,…,αn为n个n维线性无关的向量,且β与α1,α2,…,αn正交,证明:β=0,
(Ⅱ)设α1,α2,…,αn-1为n-1个n维线性无关的向量,α1,α2,…,αn-1与非零向量β1,β2正交,证明:β1,β2线性相关

选项

答案(I)令[*],因为α1,α2,...,αn线性无关,所以r(A)=n,又因为α1,α2,...,αn与β正交,所以Aβ=0,从而r(A)+r(β)≤n,注意到r(A)=n,于是r(β)=0,即β为零向量 (Ⅱ)方法一: 令[*],B=(β1,β2),因为α1,α2,...,αn-1线性无关,所以r(A)=n-1,又因为α1,α2,...,αn-1与线性正交,所以AB=0,从而r(A)+r(B)≤n,注意到r(A)=n-1,所以r(B)≤1,即β1,β2线性相关 方法二: 令[*],因为α1,α2,...,αn-1线性无关,所以r(A)=n-1,因为α1,α2,...,αn-1与β1,β2正交,所以β1,β2为方程组AX=0的两个解,而方程AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量,所以β1,β2线性相关

解析
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