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  3. [2007年] 在区间(0，1)中随机地取两个数，则两个数之差的绝对值小于1／2的概率为________．

[2007年] 在区间(0，1)中随机地取两个数，则两个数之差的绝对值小于1／2的概率为________．

admin2019-04-15  33
问题 [2007年]  在区间(0，1)中随机地取两个数，则两个数之差的绝对值小于1／2的概率为________．
选项
答案[*]
解析 解一  用几何型概率的计算公式求之．设(x，y)为所取的两个数，则样本空间为
                  Ω={(x，y)|0＜x＜1，0＜y＜1}．
    记区域A={(x，y)|(x，y)∈Ω，|x－y|＜1／2)，则A的图形如图3．1．2．1中阴影部分所示．这是因为由|x－y|＜1／2可得到
                      x－y＜1／2  及  －(x－y)＜1／2，  即  x－y＞－1／2．
而由命题3．1．2．1知，x－y＜1／2的图形是在直线x－y=1／2上方的图形，而x－y＞－1／2的图形是在直线x－y=－1／2下方的图形，两者的交即为图3．1．2．1中的阴影部分所示，则
                  SA(A的面积)=1－2×(1／2)(1－1／2)2=3／4．
显然SΩ=1，故所求概率为
                       
    解二  如图3．1．2．2所示，把区间[0，1]放在数轴上，设随机变量ξ，η分别表示任取两点的坐标，这里所说的“任取”表示“随机地取"，也表示“等可能地取”，因而ξ与η相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，即
              
因ξ与η相互独立，故(ξ，η)的密度为
                 
因此，
   
易求得SD1=1／8=SD2，故
        
    注：命题3．1．2．1  (1)设事件A={(x，y)|ax+by＜d，b＞0)(y前面系数b的符号与y所满足的不等式的符号相反)，则事件A的几何图形在直线ax+by=d的下方．
                        (2)设事件B={(x，y)|ax+by＜d，b＜0)(y前面系数b的符号与y所满足的不等式符号一致)，则事件B的几何图形在直线ax+by=d的上方．
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考研数学三

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