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  3. 设函数f(x)，g(x)满足f’(x)=g(x)，g’(x)=2ex－f(x)，且f(0)=0，g(0)=2，求∫0π[]dx。

设函数f(x)，g(x)满足f’(x)=g(x)，g’(x)=2ex－f(x)，且f(0)=0，g(0)=2，求∫0π[]dx。

admin2019-08-01  59
问题 设函数f(x)，g(x)满足f’(x)=g(x)，g’(x)=2ex－f(x)，且f(0)=0，g(0)=2，求∫0π[]dx。
选项
答案由f’(x)=g(x)，g’(x)=2ex－f(x)，得f"(x)=g’(x)=2ex－f(x)，即 f"(x)+f(x)=2ex， 此为二阶常系数线性非齐次方程，且右端呈Pm(x)eλx型(其中Pm(x)=2，λ=1)，对应的齐次方程为f"(x)+f(x)=0，特征方程为r2+1=0，对应的特征值为r=±i，于是齐次方程的通解为 y=C1cosx+C2sinx。 因为λ=1≠r，所以设特解为y*=aex(a为实数)，(y*)"=aex，代入f"(x)+f(x)=2ex，aex+aex=2ex，所以a+a=2，即a=1，从而特解 y*=ex， 非齐次方程的通解为 f(x)=C1cosx+C2sinx+ex， 又f(0)=0，所以，f(0)=C1cos0+C2sin0+e0=0[*]C1+1=0[*]C1=－1， 又f’(x)=－C1sinx+C2cosx+ex，f’(0)=g(0)=2，所以， f’(0)=－C1sin0+C2cos0+e0=C2+1=2[*]C2=1， 所以原方程的解为 f(x)=sinx－cosx+ex。 [*]
解析
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考研数学二

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