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  3. 设n阶矩阵A满足(aE一A)(bE一A)=O且a≠b，证明：A可对角化．

设n阶矩阵A满足(aE一A)(bE一A)=O且a≠b，证明：A可对角化．

admin2017-08-31  53
问题 设n阶矩阵A满足(aE一A)(bE一A)=O且a≠b，证明：A可对角化．
选项
答案由(aE—A)(bE一A)=O，得｜aE—A｜．｜bE一A｜=0，则｜aE—A｜=0或者 ｜bE—A｜=0．又由(aE—A)(bE—A)=O，得r(aE－A)+r(bE—A)≤n． 同时r(aE—A)+r(bE—A)≥r[(aE—A)一(bE—A)]=r[(a一b)E]=n． 所以r(aE—A)+r(bE—A)=n． (1)若｜aE—A｜≠0，则r(aE—A)=n，所以r(bE—A)=0，故A=bE． (2)若｜bE一A｜≠0，则r(bE一A)=n，所以r(aE—A)=0，故A=aE． (3)若｜aE—A｜=0且｜6E—A｜=0，则a，b都是矩阵A的特征值． 方程组(aE—A)X=0的基础解系含有n一r(aE—A)个线性无关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n一r(aE—A)个； 方程组(bE—A)X=0的基础解系含有n一r(bE一A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n一r(bE－A)个． 因为n一r(aE—A)+n－r(bE—A)=n，所以矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化．
解析
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考研数学一

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