①设α1,α2,…,αs和β1,β2,…,αt都是n维列向量组,记矩阵 A=(α1,α2,…,αs),B=(β1,β2,…,βt) 证明:存在矩阵C,使得AC=B的充分必要条件是r(α1,α2,…,αs;β1,β2,…,βt)=r(α,α2,…,α

admin2018-05-23  31

问题 ①设α1,α2,…,αs和β12,…,αt都是n维列向量组,记矩阵
    A=(α1,α2,…,αs),B=(β1,β2,…,βt)
证明:存在矩阵C,使得AC=B的充分必要条件是r(α1,α2,…,αs;β1,β2,…,βt)=r(α,α2,…,αs).

已知矩阵方程AX=B有解,求a,b.并求它的一个解.

选项

答案①根据向量组秩的性质, r(α1,α2,…,αs;β1,β2,…,βt)=r(α12,…,αs) [*]β1,β2,…,βt可以用α1,α2,…,αs线性表示. 如果矩阵C使得AC=B,记C的(i,j)位元素为cij,则 βj=c1jα1+c2jα2+…+csjαs,j=1,2,…,s. 从而β1,β2,…,βt可以用α1,α2,…,αs线性表示. 反之,如果β1,β2,…,βt可以用α1,α2,…,αs线性表示,设 βj=c1jα1+c2jα2+…+csjαs,j=1,2,…,s. 记C的(i,j)位元素为cij的s×t的矩阵,则由矩阵乘法的定义,AC=B. [*]

解析
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