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①设α1，α2，…，αs和β1,β2，…，αt都是n维列向量组，记矩阵 A=(α1，α2，…，αs)，B=(β1，β2，…，βt) 证明：存在矩阵C，使得AC=B的充分必要条件是r(α1，α2，…，αs；β1，β2，…，βt)=r(α，α2，…，α
①设α1，α2，…，αs和β1,β2，…，αt都是n维列向量组，记矩阵 A=(α1，α2，…，αs)，B=(β1，β2，…，βt) 证明：存在矩阵C，使得AC=B的充分必要条件是r(α1，α2，…，αs；β1，β2，…，βt)=r(α，α2，…，α
admin
2018-05-23
43
问题
①设α
1
，α
2
，…，α
s
和β
1
,β
2
，…，α
t
都是n维列向量组，记矩阵
A=(α
1
，α
2
，…，α
s
)，B=(β
1
，β
2
，…，β
t
)
证明：存在矩阵C，使得AC=B的充分必要条件是r(α
1
，α
2
，…，α
s
；β
1
，β
2
，…，β
t
)=r(α
，α
2
，…，α
s
)．
已知矩阵方程AX=B有解，求a，b．并求它的一个解．
选项
答案
①根据向量组秩的性质， r(α
1
，α
2
，…，α
s
；β
1
，β
2
，…，β
t
)=r(α
1
,α
2
，…，α
s
) [*]β
1
，β
2
，…，β
t
可以用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示． 如果矩阵C使得AC=B，记C的(i，j)位元素为c
ij
,则 β
j
=c
1j
α
1
+c
2j
α
2
+…+c
sj
α
s
，j=1，2，…，s． 从而β
1
，β
2
，…，β
t
可以用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示． 反之，如果β
1
，β
2
，…，β
t
可以用α
1
，α
2
，…，α
s
线性表示，设 β
j
=c
1j
α
1
+c
2j
α
2
+…+c
sj
α
s
，j=1，2，…，s． 记C的(i,j)位元素为c
ij
的s×t的矩阵，则由矩阵乘法的定义，AC=B． [*]
解析
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考研数学三
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