①设α1，α2，…，αs和β1,β2，…，αt都是n维列向量组，记矩阵 A=(α1，α2，…，αs)，B=(β1，β2，…，βt) 证明：存在矩阵C，使得AC=B的充分必要条件是r(α1，α2，…，αs；β1，β2，…，βt)=r(α，α2，…，α

admin2018-05-23 59

问题 ①设α₁，α₂，…，α_s和β₁,β₂，…，α_t都是n维列向量组，记矩阵
A=(α₁，α₂，…，α_s)，B=(β₁，β₂，…，β_t)
证明：存在矩阵C，使得AC=B的充分必要条件是r(α₁，α₂，…，α_s；β₁，β₂，…，β_t)=r(α，α₂，…，α_s)．

已知矩阵方程AX=B有解，求a，b．并求它的一个解．

选项

答案①根据向量组秩的性质， r(α₁，α₂，…，α_s；β₁，β₂，…，β_t)=r(α₁,α₂，…，α_s) [*]β₁，β₂，…，β_t可以用α₁，α₂，…，α_s线性表示．如果矩阵C使得AC=B，记C的(i，j)位元素为c_ij,则 β_j=c_1jα₁+c_2jα₂+…+c_sjα_s，j=1，2，…，s．从而β₁，β₂，…，β_t可以用α₁，α₂，…，α_s线性表示．反之，如果β₁，β₂，…，β_t可以用α₁，α₂，…，α_s线性表示，设 β_j=c_1jα₁+c_2jα₂+…+c_sjα_s，j=1，2，…，s．记C的(i,j)位元素为c_ij的s×t的矩阵，则由矩阵乘法的定义，AC=B． [*]

解析

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考研数学三

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