2. 考研
  3. 设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求： (1)A2： (2)A的特征值和特征向量； (3)A能否相似于对角矩阵，说明理由．

设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求： (1)A2： (2)A的特征值和特征向量； (3)A能否相似于对角矩阵，说明理由．

admin2018-09-20  55
问题 设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求：
(1)A2：
(2)A的特征值和特征向量；
(3)A能否相似于对角矩阵，说明理由．
选项
答案(1)由A=αβT和αTβ=0，有 A2=AA=(αβT)(αβT)=α(βTα)βT=(βTα)αβT=(αTβ)αβT=O，即A是幂零矩阵(A2=O)． (2)利用(1)A2=O的结果．设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则 Aξ=λξ． 两端左边乘A，得 A2ξ=λAξ=λ2ξ． 因A2=O，所以λ2ξ=0，ξ≠0，故λ=0，即矩阵A的全部特征值为0． 故由上易知方程组Ax=0的非零解即为A的特征向量．不妨设a1≠0，b1≠0，有 [*] 则A的对应于特征值0的特征向量为[*]k1，…，kn-1为不全为零的常数． (3)A不能相似于对角矩阵，因α≠0，β≠0，故A=αβT≠O，r(A)=r≠0(其实r(A)=1)．从而对应于特征值λ=0(n重)的线性无关的特征向量的个数是n一r≠n，故A不能对角化．
解析
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考研数学三

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