设方阵A满足ATA=E,其中AT是A的转置方阵,E为单位阵.试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.

admin2020-09-25  56

问题 设方阵A满足ATA=E,其中AT是A的转置方阵,E为单位阵.试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.

选项

答案设x是A的任一实特征向量,λ是x对应的特征值,即有Ax=λx,则得到xTAT=λxT,两式相乘得xTATAx=λ2xTx,因为ATA=E,因此有xTx=λ2xTx,即(λ2一1)xTx=0. 因x≠0,∴xTx>0,因此λ2一1=0即|λ|=1.

解析
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