设方阵A满足ATA=E，其中AT是A的转置方阵，E为单位阵．试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1．

admin2020-09-25 84

问题设方阵A满足A^TA=E，其中A^T是A的转置方阵，E为单位阵．试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1．

选项

答案设x是A的任一实特征向量，λ是x对应的特征值，即有Ax=λx,则得到x^TA^T=λx^T，两式相乘得x^TA^TAx=λ²x^Tx，因为A^TA=E，因此有x^Tx=λ²x^Tx，即(λ²一1)x^Tx=0．因x≠0，∴x^Tx＞0，因此λ²一1=0即|λ|=1．

解析

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考研数学三

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