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设方阵A满足ATA=E,其中AT是A的转置方阵,E为单位阵.试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.
设方阵A满足ATA=E,其中AT是A的转置方阵,E为单位阵.试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.
admin
2020-09-25
56
问题
设方阵A满足A
T
A=E,其中A
T
是A的转置方阵,E为单位阵.试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.
选项
答案
设x是A的任一实特征向量,λ是x对应的特征值,即有Ax=λx,则得到x
T
A
T
=λx
T
,两式相乘得x
T
A
T
Ax=λ
2
x
T
x,因为A
T
A=E,因此有x
T
x=λ
2
x
T
x,即(λ
2
一1)x
T
x=0. 因x≠0,∴x
T
x>0,因此λ
2
一1=0即|λ|=1.
解析
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考研数学三
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