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已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2. 求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形;
已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2. 求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形;
admin
2018-07-27
81
问题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=(1-a)x
1
2
+(1-a)x
2
2
+2x
3
2
+2(1+a)x
1
x
2
的秩为2.
求正交变换x=Qy,把f(x
1
,x
2
,x
3
)化成标准形;
选项
答案
当a=0时,A=[*]计算可得A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0.解齐次线性方程组(2E-A)x=0,得A的属于λ
1
=2的线性无关的特征向量为 η
1
=(1,1,0)
T
,η
2
=(0,0,1)
T
解齐次线性方程组(0E-A)x=0,得A的属于λ
3
=0的线性无关的特征向量为 η
3
=(-1,1,0)
T
易见η
1
,η
2
,η
3
两两正交.将η
1
,η
2
,η
3
单位化得A的标准正交的特征向量为 e
1
=[*](1,1,0)
T
,e
2
=(0,0,1)
T
,e
3
=[*](-1,1,0)
T
取Q=(e
1
,e
2
,e
3
),则Q为正交矩阵. 令x=Qy,得f的标准形为 f(x
1
,x
2
,x
3
)=λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+λ
3
y
3
2
=2y
1
2
+2y
2
2
解析
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考研数学三
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