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设函数f(x)在[0,+∞)上连续,若对任意的t∈(0,+∞)恒有 其中Ω(f)={(x,y,z)|x2+y2+z2≤t2),D(t)是Ω(t)在xOy平面上的投影区域,∑(t)是球域Ω(t)的表面,L(t)是D(t)的边界曲线.证明:f(x)满足∫0t
设函数f(x)在[0,+∞)上连续,若对任意的t∈(0,+∞)恒有 其中Ω(f)={(x,y,z)|x2+y2+z2≤t2),D(t)是Ω(t)在xOy平面上的投影区域,∑(t)是球域Ω(t)的表面,L(t)是D(t)的边界曲线.证明:f(x)满足∫0t
admin
2018-09-25
63
问题
设函数f(x)在[0,+∞)上连续,若对任意的t∈(0,+∞)恒有
其中Ω(f)={(x,y,z)|x
2
+y
2
+z
2
≤t
2
),D(t)是Ω(t)在xOy平面上的投影区域,∑(t)是球域Ω(t)的表面,L(t)是D(t)的边界曲线.证明:f(x)满足∫
0
t
r
2
f(r)dr+tf(r)=2t
4
,且f(0)=0.
选项
答案
D(t)={(x,y)|x
2
+y
2
≤t
2
},∑(t)={(x,y,z)|x
2
+y
2
+z
2
=t
2
},L(t)={(x,y)|x
2
+y
2
=t
2
},且 [*] =∫
0
2π
dθ∫
0
π
sinφdφ∫
0
t
r
2
f(r)dr=4π∫
0
t
r
2
f(r)dr, [*] =∫
0
2π
dθ∫
0
t
r
2
f(r)dr=2π∫
0
t
r
2
f(r)dr, [*] 由题设条件,有 47π∫
0
t
r
2
f(r)dr+2πtf(t)=2π∫
0
t
r
2
f(r)dr+4πt
4
, 即 ∫
0
t
r
2
f(r)dr+tf(f)=2t
4
. 又t≠0,则 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/gcg4777K
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考研数学一
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