已知求A的特征值与特征向量，并指出A可以相似对角化的条件．

admin2020-03-15 90

问题已知

求A的特征值与特征向量，并指出A可以相似对角化的条件．

选项

答案由矩阵A的特征多项式[*]得到A的特征值是λ₁=1—a，λ₂=a，λ₃=a+1．由[(1一a)E—A]x=0，[*]得到属于λ₁=1一a的特征向量是α₁=k₁(1，0，1)^T，k₁≠0．由(αE—A)x=0，[*]得到属于λ₂=a的特征向量是α₂=k₂(1，1一2a，1)^T，k₂≠0．由[(a+1)E—A]x=0，[*]得到属于μ₃=0+1的特征向量α₂=k₂(2—a，一4a，a+2)^TT，k₂≠0．如果λ₁,λ₂，λ₃互不相同，即1一a≠a，1一a≠a+1，a≠s+1，即[*]且a≠0，则矩阵A有3个不同的特征值，A可以相似对角化．若[*]即[*]，此时A只有一个线性无关的特征向量，故A不能相似对角化．若a=0，即λ₁=λ₃=1，此时A只有一个线性无关的特征向量，故A不能相似对角化．

解析

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考研数学三

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