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  3. 设线性方程组(1)与方程x1+2x2+x3=a一1(2)有公共解，求a的值及所有公共解。

设线性方程组(1)与方程x1+2x2+x3=a一1(2)有公共解，求a的值及所有公共解。

admin2021-01-25  31
问题 设线性方程组(1)与方程x1+2x2+x3=a一1(2)有公共解，求a的值及所有公共解。
选项
答案方法一：将方程组与方程联立得非齐次线性方程组： [*] 若此非齐次线性方程组有解，则方程组与方程有公共解，且(*)的解即为所求全部公共解。对(*)的增广矩阵[*]作初等行变换得： [*] 于是： (1)当a=1时，有r(A)=[*]=2＜3，方程组(*)有解，即方程组与方程有公共解，其全部公共解即为(*)的通解，此时 [*] 方程组(*)为齐次线性方程组，其基础解系为[*]，所以方程组与方程的全部公共解为[*]，k为任意常数。 (2)当a=2时，有r(A)=[*]=3，方程组(*)有唯一解，此时 [*] 故方程组(*)的解为[*]，即方程组与方程的唯一公共解为 [*] 方法二：将线性方程组(1)的系数矩阵A作初等行变换 [*] 当a=1时，r(A)=2，线性方程组(1)的同解方程组为[*]由r(A)=2，方程组有n一r(A)=3—2=1个自由未知量。选x1为自由未知量，取x1=1，解得(1)的通解为k(1，0，一1)T，其中k是任意常数。将通解k(1，0，一1)T代入方程(2)得k+0+(一k)=0，对任意的k成立，故当a=1时，k(1，0，一1)T是(1)(2)的公共解。 当a=2时，r(A)=2，方程组(1)的同解方程组为[*]由r(A)=2，方程组有n一r(A)=3—2=1个自由未知量。选x2为自由未知量，取x2=1，解得(1)的通解为μ(0，1，一1)T，其中μ是任意常数。将通解μ(0，1，一1)T代入方程(2)得2μ一μ=1，即μ=1，故当a=2时，(1)和(2)的公共解为(0，1，一1)T。
解析
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考研数学三

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