设线性方程组(1)与方程x1+2x2+x3=a一1(2)有公共解,求a的值及所有公共解。

admin2021-01-25  34

问题 设线性方程组(1)与方程x1+2x2+x3=a一1(2)有公共解,求a的值及所有公共解。

选项

答案方法一:将方程组与方程联立得非齐次线性方程组: [*] 若此非齐次线性方程组有解,则方程组与方程有公共解,且(*)的解即为所求全部公共解。对(*)的增广矩阵[*]作初等行变换得: [*] 于是: (1)当a=1时,有r(A)=[*]=2<3,方程组(*)有解,即方程组与方程有公共解,其全部公共解即为(*)的通解,此时 [*] 方程组(*)为齐次线性方程组,其基础解系为[*],所以方程组与方程的全部公共解为[*],k为任意常数。 (2)当a=2时,有r(A)=[*]=3,方程组(*)有唯一解,此时 [*] 故方程组(*)的解为[*],即方程组与方程的唯一公共解为 [*] 方法二:将线性方程组(1)的系数矩阵A作初等行变换 [*] 当a=1时,r(A)=2,线性方程组(1)的同解方程组为[*]由r(A)=2,方程组有n一r(A)=3—2=1个自由未知量。选x1为自由未知量,取x1=1,解得(1)的通解为k(1,0,一1)T,其中k是任意常数。将通解k(1,0,一1)T代入方程(2)得k+0+(一k)=0,对任意的k成立,故当a=1时,k(1,0,一1)T是(1)(2)的公共解。 当a=2时,r(A)=2,方程组(1)的同解方程组为[*]由r(A)=2,方程组有n一r(A)=3—2=1个自由未知量。选x2为自由未知量,取x2=1,解得(1)的通解为μ(0,1,一1)T,其中μ是任意常数。将通解μ(0,1,一1)T代入方程(2)得2μ一μ=1,即μ=1,故当a=2时,(1)和(2)的公共解为(0,1,一1)T

解析
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