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  3. 设矩阵 求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

设矩阵 求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

admin2021-02-25  29
问题 设矩阵
   
求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．
选项
答案解法1：由于｜A｜=7≠0，所以矩阵A的任一特征值A≠0．设η是A的属于λ的一个特征向量，即Aη=λη，故η是A-1的属于1/λ的特征向量．又A*=｜A｜A-1，故η是A*的属于｜A｜/λ的特征向量．由B=P-1A*P，有PBP-1=A*从而 [*] 即[*]，所以P-1η，是B的属于特征值｜A｜/λ的特征向量． 由 [*] 知A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=7．通过计算可知，A的属于特征值λ1=λ2=1的线性无关的特征向量可取为 [*] 属于λ3=7的一个特征向量可取为 [*] 又 [*] 于是B的属于特征值｜A｜/λ1，2=7的特征向量可取为 [*] 矩阵B的属于特征值｜A｜/λ3=1的特征向量可取为 [*] 故矩阵B+2E的特征值为3，9，9．属于特征值9的特征向量为 [*] 其中K1，K2是不全为零的常数；属于特征值3的特征向量为 [*] 其中K3为不等于零的常数． 解法2：由条件得 [*] 所以 [*] 由｜λE-(B+2E)｜=(λ-9)2(λ-3)，知B+2E的特征值为3，9，9．属于特征值9的特征向量为 [*] 其中K1，K2是不全为零的常数； 属于特征值3的特征向量为 [*] 其中K3为不等于零的常数．
解析 本题主要考查矩阵的特征值及特征向量的计算，并由A的特征值、特征向量计算与A有关的某些矩阵的特征值及特征向量．本题主要有两种解法，一是先讨论矩阵B与A的特征值、特征向量之间的关系，经计算A的特征值、特征向量而得到B+2E的特征值、特征向量；二是由A求A*，再求B及B+2E，从而算出B+2E的特征值、特征向量．后一方法由于要经过多次数字计算，中间稍有错误便前功尽弃．
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考研数学二

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