证明不等式：χarctanχ≥ln(1＋χ2)．

admin2019-08-23 69

问题证明不等式：χarctanχ≥

ln(1＋χ²)．

选项

答案令f(χ)＝χarctanχ－[*]ln(1＋χ²)，f(0)＝0．得f′(χ)＝[*]＋arctanχ－[*]＝arctanχ＝0，得χ＝0，因为f〞(χ)＝[*]＞0，所以χ＝0为f(χ)的极小值点，也为最小值点，而f(0)＝0，故对一切的χ，有f(χ)≥0，即χarctanχ≥[*]ln(1＋χ²)．

解析

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设f(χ)在(0，1)内有定义，且eχf(χ)与e－f(χ)在(0，1)内都是单调增函数，证明：f(χ)在(0，1)内连续．
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设f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)，证明：存在ξ，η∈(0，1)，使得f′(ξ)＋f′(η)＝0．
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