设α1,α2,…,αn为n个线性无关的n维向量,且与向量β正交.证明:向量β为零向量.

admin2018-11-11  37

问题 设α1,α2,…,αn为n个线性无关的n维向量,且与向量β正交.证明:向量β为零向量.

选项

答案方法一 令A[*],因为α1,α2,αm与β正交,所以Aβ=0,即β为方程组Ax=0的解,而α1,α2,αn线性无关,所以r(A)=n,从而方程组AX=0只有零解,即β=0. 方法二 (反证法)不妨设β≠0,令k1α1+k2α2+…+knαn+k0β=0,上式两边左乘βT得 k1βTα1+k2βTα2+…+knβTαn+k0βTβ=0 因为α1,α2,…,αn与β正交,所以k0βTβ=0,即k0|β|2=,从而k0=0,于是k1α1+k2α2+…+knαn=0,再由α1,α2,…,αn线性无关,得k1=k2=…kn=0,故α1,α2,…,αn,β线性无关,矛盾(因为当向量的个数大于向量的维数时向量组一定线性相关),所以β=0.

解析
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