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设函数y(χ)在区间[0,+∞)上有连续导数,并且满足y(χ)=-1+χ+2∫0χ(χ-t)y(t)y′(t)dt. 求y(χ).
设函数y(χ)在区间[0,+∞)上有连续导数,并且满足y(χ)=-1+χ+2∫0χ(χ-t)y(t)y′(t)dt. 求y(χ).
admin
2019-06-29
52
问题
设函数y(χ)在区间[0,+∞)上有连续导数,并且满足y(χ)=-1+χ+2∫
0
χ
(χ-t)y(t)y′(t)dt.
求y(χ).
选项
答案
对所给方程变形 y(χ)=-1+χ+2χ∫
0
χ
y(t)y′(t)dt-2∫
0
χ
ty(t)y′(t)dt. 方程两端对χ求导,得 y′(χ)=1+2∫
0
χ
y(t)y′(t)dt, 继续求导,得 y〞(χ)=2y(χ)y′(χ),且y(0)=-1,y′(0)=1. 微分方程不显含自变量χ,令P=y′,方程可化为 P[*]=2py, 这是自变量可分离的微分方程,求得通解为 P=y
2
+c
1
,即y′=y
2
+c
1
, 由y(0)=-1,y′(0)=1可得,c
1
=0, 从y′=y
2
,所以y=-[*]. 再由y(0)=-1,得c
2
=1, 故函数y=-[*].
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/h7V4777K
0
考研数学二
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