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n阶矩阵A=,求A的特征值和特征向量。
n阶矩阵A=,求A的特征值和特征向量。
admin
2020-03-16
47
问题
n阶矩阵A=
,求A的特征值和特征向量。
选项
答案
矩阵A的特征多项式为 |λE—A|=[*]=[λ—1一(n—1)b][λ一(1—b)]
n-1
, 则A的特征值为1+(n一1)b和1—b(n—1重)。 ①当b=0时,A的特征值是1(n重),任意n维非零列向量均为A的特征向量。 ②当b≠0时,对方程组[(1+n一1)bE—A]x=0的系数矩阵作初等行变换得 [*] 解得上述方程组的基础解系为ξ
1
=(1,1,1,…,1)
T
。所以A的属于λ=1+(n一1)b的全部特征向量为 kξ
1
=k(1,1,1,…,1)
T
,其中k≠0。 对方程组[(1—b)E—A]x=0的系数矩阵作初等行变换得 [*] 解得上述方程组的基础解系为 ξ
2
=(1,一1,0,…,0)
T
,ξ
3
=(1,0,一1,…,0)
T
,…,ξ
n
=(1,0,0,…,一1)
T
, 所以A的属于λ=1一b的全部特征向量为 k
2
ξ
2
+k
3
ξ
3
+…+k
n
ξ
n
,其中k
2
,k
3
,…,k
n
是不全为零的常数。
解析
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考研数学二
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