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  3. n阶矩阵A=，求A的特征值和特征向量。

n阶矩阵A=，求A的特征值和特征向量。

admin2020-03-16  56
问题 n阶矩阵A=，求A的特征值和特征向量。
选项
答案矩阵A的特征多项式为 ｜λE—A｜=[*]=[λ—1一(n—1)b][λ一(1—b)]n－1， 则A的特征值为1+(n一1)b和1—b(n—1重)。 ①当b=0时，A的特征值是1(n重)，任意n维非零列向量均为A的特征向量。 ②当b≠0时，对方程组[(1+n一1)bE—A]x=0的系数矩阵作初等行变换得 [*] 解得上述方程组的基础解系为ξ1=(1，1，1，…，1)T。所以A的属于λ=1+(n一1)b的全部特征向量为 kξ1=k(1，1，1，…，1)T，其中k≠0。 对方程组[(1—b)E—A]x=0的系数矩阵作初等行变换得 [*] 解得上述方程组的基础解系为 ξ2=(1，一1，0，…，0)T，ξ3=(1，0，一1，…，0)T，…，ξn=(1，0，0，…，一1)T， 所以A的属于λ=1一b的全部特征向量为 k2ξ2+k3ξ3+…+knξn，其中k2，k3，…，kn是不全为零的常数。
解析
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考研数学二

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