n阶矩阵A=，求A的特征值和特征向量。

admin2020-03-16 79

问题 n阶矩阵A=

，求A的特征值和特征向量。

选项

答案矩阵A的特征多项式为｜λE—A｜=[*]=[λ—1一(n—1)b][λ一(1—b)]^n－1，则A的特征值为1+(n一1)b和1—b(n—1重)。 ①当b=0时，A的特征值是1(n重)，任意n维非零列向量均为A的特征向量。 ②当b≠0时，对方程组[(1+n一1)bE—A]x=0的系数矩阵作初等行变换得 [*] 解得上述方程组的基础解系为ξ₁=(1，1，1，…，1)^T。所以A的属于λ=1+(n一1)b的全部特征向量为 kξ₁=k(1，1，1，…，1)^T，其中k≠0。对方程组[(1—b)E—A]x=0的系数矩阵作初等行变换得 [*] 解得上述方程组的基础解系为 ξ₂=(1，一1，0，…，0)^T，ξ₃=(1，0，一1，…，0)^T，…，ξ_n=(1，0，0，…，一1)^T，所以A的属于λ=1一b的全部特征向量为 k₂ξ₂+k₃ξ₃+…+k_nξ_n，其中k₂，k₃，…，k_n是不全为零的常数。

解析

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考研数学二

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