设A为m×n阶实矩阵，且r(A)=n．证明：ATA的特征值全大于零．

admin2017-08-31 33

问题设A为m×n阶实矩阵，且r(A)=n．证明：A^TA的特征值全大于零．

选项

答案首先A^TA为实对称矩阵，r(A^TA)=n，对任意的X＞0， X^T(A^TA)X=(AX)^T(AX)，令AX=α，因为r(A)=n，所以α≠0，所以(AX)^T(AX)=α^Tα=｜｜α｜｜²＞0，即二次型X^T(A^TA)X是正定二次型，A^TA为正定矩阵，所以A^TA的特征值全大于零．

解析

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考研数学一

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(2009年试题，18)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ>0)内可导，，则f+’(0)存在，且f+’(0)=A．
(2002年试题，十)设A，B为同阶方阵．当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．
(2004年试题，三)设有方程xn+nx一1=0，其中n为正整数．证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当α>1时，级数收敛．
设λ1，λ2是矩阵A的两个特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则()．
A是三阶矩阵，有特征值λ1=λ2=2，对应两个线性无关的特征向量为ξ1，ξ3,λ2=…2对应的特征向量是ξ3证明：任一三维非零向量β(β≠0)都是A2的特征向量，并求对应的特征值。
设随机变量X的方差存在，分别就离散型和连续型情形证明“切比雪夫不等式”即对任意ε>0，有P{|X-EX|≥ε}≤DX/ε2．
设，试证明：级数条件收敛．

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资本主义由自由竞争进入垄断阶段，最根本的标志在于
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