A是三阶矩阵,有特征值λ1=λ2=2,对应两个线性无关的特征向量为ξ1,ξ3,λ2=…2对应的特征向量是ξ3 证明:任一三维非零向量β(β≠0)都是A2的特征向量,并求对应的特征值。

admin2014-08-18  41

问题 A是三阶矩阵,有特征值λ12=2,对应两个线性无关的特征向量为ξ1,ξ32=…2对应的特征向量是ξ3
证明:任一三维非零向量β(β≠0)都是A2的特征向量,并求对应的特征值。

选项

答案因A特征值λ1=λ=2.λ2=一2,故A2有特征值μ123=4.对应的特征向量仍是ξ1ξ2,ξ3且ξ1,ξ2,ξ3线性无关.故存在可逆阵P=[ξ1,ξ2,ξ3],使得P-1A2P=4E,A2=P(4E)P-1=4E,从而有对任意的β≠0,有A2β=4Eβ=4β,故知任意非零向量β都是A2的对应于λ=4的特征向量.

解析
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