A是三阶矩阵，有特征值λ1=λ2=2，对应两个线性无关的特征向量为ξ1，ξ3,λ2=…2对应的特征向量是ξ3 证明：任一三维非零向量β(β≠0)都是A2的特征向量，并求对应的特征值。

admin2014-08-18 39

问题 A是三阶矩阵，有特征值λ₁=λ₂=2，对应两个线性无关的特征向量为ξ₁，ξ₃,λ₂=…2对应的特征向量是ξ₃
证明：任一三维非零向量β(β≠0)都是A²的特征向量，并求对应的特征值。

选项

答案因A特征值λ₁=λ=2．λ₂=一2，故A²有特征值μ₁=μ₂=μ₃=4．对应的特征向量仍是ξ₁ξ₂，ξ₃且ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关．故存在可逆阵P=[ξ₁，ξ₂，ξ₃]，使得P^-1A²P=4E，A²=P(4E)P^-1=4E，从而有对任意的β≠0，有A²β=4Eβ=4β，故知任意非零向量β都是A²的对应于λ=4的特征向量．

解析

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考研数学一

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A是三阶矩阵，有特征值λ1=λ2=2，对应两个线性无关的特征向量为ξ1，ξ3,λ2=…2对应的特征向量是ξ3 证明：任一三维非零向量β(β≠0)都是A2的特征向量，并求对应的特征值。

考研数学一

设函数f(x)满足f(1)=1,且有f’(x)=,证明：极限存在。

设数列{xn}满足0＜x1＜1，ln(1+xn)=－1(n=1,2,…),证明：xn存在，并求该极限。

设f(x)在[0,+∞)上连续，满足0≤f(x)≤x,x∈[0,+∞),设a1≥0,an+1=f(an)(n=1,2,…),证明：设an=t,则有f(t)=t.

设f(x)在[0,+∞)上连续，满足0≤f(x)≤x,x∈[0,+∞),设a1≥0,an+1=f(an)(n=1,2,…),证明：{an}为收敛数列。

设当a≤x≤b时，a≤f(x)≤b,并设存在常数k,0≤k＜1，对于[a,b]上的任意两点x1与x2，都有｜f(x1)－f(x2)｜≤k｜x1－x2｜,证明：存在唯一的ξ∈[a,b]使f(ξ)=ξ.

设xn+1=(n=1,2,…),x1=,证明xn存在，并求xn.

设f(x)为可微函数，证明：若x=1时，有,则必有f’(1)=0或f(1)=1.

设f(x)在(－∞,+∞)内有定义，且对任意的x,x1,x2∈(－∞,+∞),有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),f(x)=1+xg(x),其中=1,证明：f(x)在（-∞，+∞）内处处可导。

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