设有线性方程组 (1)证明:当a1,a2,a3,a4两两不等时,此方程组无解; (2)设a1=a3=k,a2=a4=一k(k≠0)时,β1=(一1,1,1)T,β2=(1,1,一1)T是方程组的两个解,写出此方程组的通解.

admin2016-04-11  20

问题 设有线性方程组

  (1)证明:当a1,a2,a3,a4两两不等时,此方程组无解;
  (2)设a1=a3=k,a2=a4=一k(k≠0)时,β1=(一1,1,1)T,β2=(1,1,一1)T是方程组的两个解,写出此方程组的通解.

选项

答案(1)当11,12,13,14两两不等时,增广矩阵的行列式(为一范德蒙行列式)[*]=4,但系数矩阵的秩不大于3,故方程组无解. (2)此时有r(A)=[*]=2,故方程组有无穷多解,对应齐次线性方程组Ax=0的基础联系含3一r(A)=3—2=1个解向量,由于A(β1—β2)=Aβ1—Aβ2=0,所以,β1—β2=(一2,0,2)T或ξ=(1,0,一1)T就是Ax=0的一个基础解系,故原方程组的通解为x=β1+cξ=(一1,1,1)T+c(1,0,一1)T

解析
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