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考研
下列结论正确的是 ( )
下列结论正确的是 ( )
admin
2018-09-20
40
问题
下列结论正确的是 ( )
选项
A、z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)的某邻域内两个偏导数存在，则z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)处连续
B、z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)的某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)处两个偏导数存在
C、z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)的某邻域内两个偏导数存在且有界，则z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)处连续
D、z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)的某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)该邻域内两个偏导数有界
答案
C
解析
二元函数的连续性与偏导数之间没有必然的联系．设在(x
0
，y
0
)的某邻域U内，对于任意(x，y)∈U有|f
x
’(x，y)|≤M，|f
y
’(x，y)|≤M(M为正常数)．
由微分中值定理，
|f(x，y)一f(x
0
，y
0
)|≤|f(x，y)一f(x，y
0
)|+|f(x，y
0
)一f(x
0
，y
0
)|
=|f
y
’(x，y
0
+θ
1
△y).△y|+|f
x
’(x
0
+θ
2
△x，y
0
).△x|
≤M(|△x|+|△y|)．
这里△x=x—x
0
，△y=y—y
0
，0＜θ
1
，θ
2
＜1．
当
，有△x→0，△y→0，必有
|f(x，y)一f(x
0
，y
0
)|≤M(|△x|+|△y|)→0，
故f(x，y)在点(x
0
，y
0
)处连续．
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考研数学三
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