2. 考研
  3. 下列结论正确的是 ( )

下列结论正确的是 ( )

admin2018-09-20  47
问题 下列结论正确的是    (    )
选项 A、z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内两个偏导数存在，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续
B、z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在
C、z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内两个偏导数存在且有界，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续
D、z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x0，y0)该邻域内两个偏导数有界
答案C
解析 二元函数的连续性与偏导数之间没有必然的联系．设在(x0，y0)的某邻域U内，对于任意(x，y)∈U有|fx’(x，y)|≤M，|fy’(x，y)|≤M(M为正常数)．
  由微分中值定理，
    |f(x，y)一f(x0，y0)|≤|f(x，y)一f(x，y0)|+|f(x，y0)一f(x0，y0)|
    =|fy’(x，y0+θ1△y).△y|+|fx’(x0+θ2△x，y0).△x|
    ≤M(|△x|+|△y|)．
  这里△x=x—x0，△y=y—y0，0＜θ1，θ2＜1．
当，有△x→0，△y→0，必有
|f(x，y)一f(x0，y0)|≤M(|△x|+|△y|)→0，
故f(x，y)在点(x0，y0)处连续．
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考研数学三

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