下列结论正确的是 ( )

admin2018-09-20  23

问题 下列结论正确的是    (    )

选项 A、z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内两个偏导数存在,则z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续
B、z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续,则z=f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数存在
C、z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内两个偏导数存在且有界,则z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续
D、z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续,则z=f(x,y)在点(x0,y0)该邻域内两个偏导数有界

答案C

解析 二元函数的连续性与偏导数之间没有必然的联系.设在(x0,y0)的某邻域U内,对于任意(x,y)∈U有|fx’(x,y)|≤M,|fy’(x,y)|≤M(M为正常数).
  由微分中值定理,
    |f(x,y)一f(x0,y0)|≤|f(x,y)一f(x,y0)|+|f(x,y0)一f(x0,y0)|
    =|fy’(x,y01△y).△y|+|fx’(x02△x,y0).△x|
    ≤M(|△x|+|△y|).
  这里△x=x—x0,△y=y—y0,0<θ1,θ2<1.
,有△x→0,△y→0,必有
|f(x,y)一f(x0,y0)|≤M(|△x|+|△y|)→0,
故f(x,y)在点(x0,y0)处连续.
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