eπ与πe谁大谁小，请给出结论并给予严格证明(不准用计算器)．

admin2019-01-24 22

问题 e^π与π^e谁大谁小，请给出结论并给予严格证明(不准用计算器)．

选项

答案e^π与π^e比大小，又不准用计算器，看来不好下手．这里有个e，试讨论e^x与x^e(这里的x＞e)，问题就有点眉目．再将它们分别取对数，比较xln e与eln x的大小．令 f(x)＝xln e－eln x，则有[*] 故当x＞e时f(x)＞0，即有xln e＞eln x，e^x＞x^e(x＞e)．令x＝π代入，有e^π＞π^e．讨论毕．【注】本题可以推广：设b＞a≥e，证明：a^b＞b^a．

解析

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考研数学一

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