2. 考研
  3. 设f(x)二阶可导，f(0)=0，且f″(x)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有 f(a+b)＞f(a)+f(b)．

设f(x)二阶可导，f(0)=0，且f″(x)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有 f(a+b)＞f(a)+f(b)．

admin2019-09-27  25
问题 设f(x)二阶可导，f(0)=0，且f″(x)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有
f(a+b)＞f(a)+f(b)．
选项
答案不妨设a≤b，由微分中值定理，存在ξ1∈(0，a)，ξ2∈(b，a+b)，使得 [*] 两式相减得f(a+b)－f(a)－f(b)=[f′(ξ2)－f′(ξ1)]a． 因为f″(x)＞0，所以f′(x)单调增加，而ξ1＜ξ2，所以f′(ξ1)＜f′(ξ2)， 故f(a+b)－f(a)－f(b)=[f′(ξ2)－f′(ξ1)]a＞0，即 f(a+b)＞f(a)+f(b)．
解析
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考研数学一

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