设A=(aij)是3阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则|A|=________．

admin2021-01-19 35

问题设A=(a_ij)是3阶非零矩阵，|A|为A的行列式，A_ij为a_ij的代数余子式，若a_ij+A_ij=0(i，j=1，2，3)，则|A|=________．

选项

答案一1．

解析由A≠0，不妨设a₁₁≠0，由已知的A_ij=一a_ij(i，j=1，2，3)，得

及A=一(A^*)^T，其中A^*为A的伴随矩阵，以下有两种方法：
方法1：用A^T右乘A=一(A^*)^T的两端，得
AA^*=一(A^*)A^T=一(AA^*)T=一(|A|I)^T，
其中I为3阶单位矩阵，上式两端取行列式，得
|A|²=(一1)³|A|³，或|A|²(1+|A|)=0，
因|A|≠0，所以|A|=一1．
方法2：从A=一(A^*)^T两端取行列式，并利用|A^*|= |A|²，得
|A|= (一1)³ |A^*|=一|A|²，或|A| (1+|A|)=0，
因|A|≠0，所以|A|=一1．

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