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设A=(aij)是3阶非零矩阵,|A|为A的行列式,Aij为aij的代数余子式,若aij+Aij=0(i,j=1,2,3),则|A|=________.
设A=(aij)是3阶非零矩阵,|A|为A的行列式,Aij为aij的代数余子式,若aij+Aij=0(i,j=1,2,3),则|A|=________.
admin
2021-01-19
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问题
设A=(a
ij
)是3阶非零矩阵,|A|为A的行列式,A
ij
为a
ij
的代数余子式,若a
ij
+A
ij
=0(i,j=1,2,3),则|A|=________.
选项
答案
一1.
解析
由A≠0,不妨设a
11
≠0,由已知的A
ij
=一a
ij
(i,j=1,2,3),得
及A=一(A
*
)
T
,其中A
*
为A的伴随矩阵,以下有两种方法:
方法1:用A
T
右乘A=一(A
*
)
T
的两端,得
AA
*
=一(A
*
)A
T
=一(AA
*
)T=一(|A|I)
T
,
其中I为3阶单位矩阵,上式两端取行列式,得
|A|
2
=(一1)
3
|A|
3
,或|A|
2
(1+|A|)=0,
因|A|≠0,所以|A|=一1.
方法2:从A=一(A
*
)
T
两端取行列式,并利用|A
*
|= |A|
2
,得
|A|= (一1)
3
|A
*
|=一|A|
2
,或|A| (1+|A|)=0,
因|A|≠0,所以|A|=一1.
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