设n阶矩阵A和B满足等式 AB=aA+bB，其中a和b为非零实数。证明： (Ⅰ)A-bE和B-aE都可逆； (Ⅱ)A可逆的充分必要条件是B可逆； (Ⅲ)AB=BA。

admin2019-01-23 66

问题设n阶矩阵A和B满足等式
AB=aA+bB，
其中a和b为非零实数。证明：
(Ⅰ)A-bE和B-aE都可逆；
(Ⅱ)A可逆的充分必要条件是B可逆；
(Ⅲ)AB=BA。

选项

答案(Ⅰ)由AB=aA+bB得到 (A-bE)(B-aE)=AB-aA-bB+abE=abE。由于a和b都非0，abE可逆，从而A-bE和B-aE都可逆。 (Ⅱ)由AB=aA+bB得，A(B-aE)=bB。由于B-aE可逆，b不为0，那么 A可逆[*](B-aE)可逆[*]bB可逆[*]b可逆。 (Ⅲ)由(A-bE)(B-aE)=abE，得[*]，根据逆矩阵的定义，从而有 [*] 即(B-aE)(A-bE)=abE=(A-bE)(B-aE)，等式两端展开并化简，结合已知条件AB=aA+bB，得AB=BA。

解析

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