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设n阶矩阵A和B满足等式 AB=aA+bB, 其中a和b为非零实数。证明: (Ⅰ)A-bE和B-aE都可逆; (Ⅱ)A可逆的充分必要条件是B可逆; (Ⅲ)AB=BA。
设n阶矩阵A和B满足等式 AB=aA+bB, 其中a和b为非零实数。证明: (Ⅰ)A-bE和B-aE都可逆; (Ⅱ)A可逆的充分必要条件是B可逆; (Ⅲ)AB=BA。
admin
2019-01-23
67
问题
设n阶矩阵A和B满足等式
AB=aA+bB,
其中a和b为非零实数。证明:
(Ⅰ)A-bE和B-aE都可逆;
(Ⅱ)A可逆的充分必要条件是B可逆;
(Ⅲ)AB=BA。
选项
答案
(Ⅰ)由AB=aA+bB得到 (A-bE)(B-aE)=AB-aA-bB+abE=abE。 由于a和b都非0,abE可逆,从而A-bE和B-aE都可逆。 (Ⅱ)由AB=aA+bB得,A(B-aE)=bB。由于B-aE可逆,b不为0,那么 A可逆[*](B-aE)可逆[*]bB可逆[*]b可逆。 (Ⅲ)由(A-bE)(B-aE)=abE,得[*],根据逆矩阵的定义, 从而有 [*] 即(B-aE)(A-bE)=abE=(A-bE)(B-aE), 等式两端展开并化简,结合已知条件AB=aA+bB,得AB=BA。
解析
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考研数学一
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