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  3. 设函数f(x)是连续且单调增加的奇函数，φ(x)=∫0x(2u－x)f(x－u)du，则φ(x)是( )．

设函数f(x)是连续且单调增加的奇函数，φ(x)=∫0x(2u－x)f(x－u)du，则φ(x)是( )．

admin2020-06-11  25
问题 设函数f(x)是连续且单调增加的奇函数，φ(x)=∫0x(2u－x)f(x－u)du，则φ(x)是(    )．
选项 A、单调增加的奇函数
B、单调减少的奇函数
C、单调增加的偶函数
D、单调减少的偶函数
答案B
解析 φ(x)=∫0x(2u－x)f(x－u)du
=2∫0xuf(x－u)du－x∫0xf(x－u)du
=－2∫0xuf(x－u)d(x－u)+x∫0xf(x－u)d(x－u)
－2∫x0(x－t)f(t)dt+x∫x0f(t)dt
=2∫0x(x－t)f(t)dt－x∫0xf(t)dt
=2x∫0xf(t)dt－2∫0xxf(t)dt－x∫0xf(t)dt
=x∫0xf(t)dt－2∫0xtf(t)dt，
因为φ(－x)=－x∫0－xf(t)dt－2∫0－xtf(t)dt
x∫0xf(－u)du－2∫0x(－u)f(－u)d(－u)
=－x∫0xf(u)du+2∫0xuf(u)du=－φ(x)，
所以φ(x)为奇函数；
又φ’(x)=∫0xf(t)dt－xf(x)，
当x＞0时，φ’(x)=∫0xf(t)dt－xf(x)=x[f(ξ)－f(x)]≤0(0≤ξ≤x)，
当x≤0时，φ’(x)=∫0xf(t)dt－xf(x)=x[f(ξ)－f(x)]≤0(x≤ξ≤0)，
所以φ(x)为单调减少的奇函数，选(B)．
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考研数学二

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