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设f(x)具有一阶连续导数,f(0)=0,且表达式 [xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy 为某二元函数u(x,y)的全微分. (1)求f(x); (2)求u(x,y)的一般表达式.
设f(x)具有一阶连续导数,f(0)=0,且表达式 [xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy 为某二元函数u(x,y)的全微分. (1)求f(x); (2)求u(x,y)的一般表达式.
admin
2020-03-10
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问题
设f(x)具有一阶连续导数,f(0)=0,且表达式
[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x
2
y]dy
为某二元函数u(x,y)的全微分.
(1)求f(x);
(2)求u(x,y)的一般表达式.
选项
答案
(1)由题意知, du=[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x
2
y]dy, 即[*]=xy(1+y)一f(x)y,[*]=f(x)+x
2
y. 由于f(x)具有一阶连续导数,所以u的二阶混合偏导数连续,所以有[*]即有 x(1+2y)一f(x)=f’(x)+2xy, f’(x)+f(x)=x. 又f(0)=0,可求得f(x)=x一1+e
-x
. (2)由(1)知du=(xy
2
+y—ye
-x
)dx+(x一1+e
-x
+x
2
y)dy. 求u(x,y)有多种方法. du=(xy
2
+y-ye
-x
)dx+(x-1+e
-x
+x
2
y)dy =xy(ydx+xdy)+(ydx+xdy)+(一ye
-x
dx+e
-x
dy)一dy=[*] 所以u(x,y)=[*]+xy+ye
-x
一y+C(C为任意常数).
解析
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考研数学三
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