设f(x)具有一阶连续导数,f(0)=0,且表达式 [xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy 为某二元函数u(x,y)的全微分. (1)求f(x); (2)求u(x,y)的一般表达式.

admin2020-03-10  32

问题 设f(x)具有一阶连续导数,f(0)=0,且表达式
    [xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy
为某二元函数u(x,y)的全微分.
    (1)求f(x);
    (2)求u(x,y)的一般表达式.

选项

答案(1)由题意知, du=[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy, 即[*]=xy(1+y)一f(x)y,[*]=f(x)+x2y. 由于f(x)具有一阶连续导数,所以u的二阶混合偏导数连续,所以有[*]即有 x(1+2y)一f(x)=f’(x)+2xy, f’(x)+f(x)=x. 又f(0)=0,可求得f(x)=x一1+e-x. (2)由(1)知du=(xy2+y—ye-x)dx+(x一1+e-x+x2y)dy. 求u(x,y)有多种方法. du=(xy2+y-ye-x)dx+(x-1+e-x+x2y)dy =xy(ydx+xdy)+(ydx+xdy)+(一ye-xdx+e-xdy)一dy=[*] 所以u(x,y)=[*]+xy+ye-x一y+C(C为任意常数).

解析
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