2. 考研
  3. 设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式 [xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy 为某二元函数u(x，y)的全微分． (1)求f(x)； (2)求u(x，y)的一般表达式．

设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式 [xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy 为某二元函数u(x，y)的全微分． (1)求f(x)； (2)求u(x，y)的一般表达式．

admin2020-03-10  33
问题 设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式
    [xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy
为某二元函数u(x，y)的全微分．
    (1)求f(x)；
    (2)求u(x，y)的一般表达式．
选项
答案(1)由题意知， du=[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy， 即[*]=xy(1+y)一f(x)y，[*]=f(x)+x2y． 由于f(x)具有一阶连续导数，所以u的二阶混合偏导数连续，所以有[*]即有 x(1+2y)一f(x)=f’(x)+2xy， f’(x)+f(x)=x． 又f(0)=0，可求得f(x)=x一1+e-x． (2)由(1)知du=(xy2+y—ye-x)dx+(x一1+e-x+x2y)dy． 求u(x，y)有多种方法． du=(xy2+y-ye-x)dx+(x-1+e-x+x2y)dy =xy(ydx+xdy)+(ydx+xdy)+(一ye-xdx+e-xdy)一dy=[*] 所以u(x，y)=[*]+xy+ye-x一y+C(C为任意常数)．
解析
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考研数学三

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