2. 考研
  3. 设α1＝，α2＝，α3＝，则三条直线a1x＋b1y＋c1＝0，a2x＋b2y＋c2＝0，a3x＋b3y＋c3＝0(其中ai2＋bi2≠0，i＝1，2，3)交于一点的充分必要条件是( )．

设α1＝，α2＝，α3＝，则三条直线a1x＋b1y＋c1＝0，a2x＋b2y＋c2＝0，a3x＋b3y＋c3＝0(其中ai2＋bi2≠0，i＝1，2，3)交于一点的充分必要条件是( )．

admin2020-06-05  23
问题 设α1＝，α2＝，α3＝，则三条直线a1x＋b1y＋c1＝0，a2x＋b2y＋c2＝0，a3x＋b3y＋c3＝0(其中ai2＋bi2≠0，i＝1，2，3)交于一点的充分必要条件是(    )．
选项 A、α1，α2，α3线性相关
B、α1，α2，α3线性无关
C、R(α1，α2，α3)＝R(α1，α2)
D、α1，α2，α3线性相关，α1，α2线性无关
答案D
解析 方法一
三直线交于一点的充分必要条件是线性方程组(Ⅰ)：
或xα1＋yα2＋α3＝0有唯一解，即α3＝﹣xα1－yα2．而方程组xα1＋yα2＋α3＝0有唯一解α3可由α1，α2线性表示，且表示式唯一α1，α2，α3线性相关，α1，α2线性无关．
方法二  本题也可直接从方程组(Ⅰ)进行推演．方程组(Ⅰ)又为
首先
由方程组(Ⅰ)有唯一解可知α3可由α1，α2线性表示，即α1，α2，α3线性相关．又方程组(Ⅰ)有唯一解，即方程组
有唯一解可知其系数矩阵A＝的秩R(A)＝2．再由矩阵“三秩相等”的性质可知秩R(α1，α2)＝2，即α1，α2线性无关，因而(D)正确．选项(A)仅是三直线交于一点的必要条件．选项(C)错误是因为有可能R(α1，α2)＝1，即α1和α2线性相关．若α1，α2线性相关，则α1∥α2，三直线不可能交于一点．
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考研数学一

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