设f(x)在区间[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且f(0)=∫01f(x)dx=,证明:存在ξ∈(0,2),使得f"(ξ)=0。

admin2018-05-25  27

问题 设f(x)在区间[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且f(0)=∫01f(x)dx=,证明:存在ξ∈(0,2),使得f"(ξ)=0。

选项

答案令F(x)=∫0xf(t)dt,则由牛顿一莱布尼茨公式及积分中值定理,有 ∫01f(x)dx=F(1)一F(0)=F’(c)(1一0)=f(c),其中c∈(0,1),再由积分中值定理得[*],于是有f(0)=f(c)=f(x0)。 从而f(x)满足罗尔定理的条件,故存在ξ1∈(0,c),ξ2∈(c,x0),使得f’(ξ)=f’(ξ2)=0,再次利用罗尔定理,存在ξ∈(ξ1,ξ2)[*](0,2),使得f"(ξ)=0。

解析
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