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设f(x)在区间[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且f(0)=∫01f(x)dx=,证明:存在ξ∈(0,2),使得f"(ξ)=0。
设f(x)在区间[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且f(0)=∫01f(x)dx=,证明:存在ξ∈(0,2),使得f"(ξ)=0。
admin
2018-05-25
50
问题
设f(x)在区间[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且f(0)=∫
0
1
f(x)dx=
,证明:存在ξ∈(0,2),使得f"(ξ)=0。
选项
答案
令F(x)=∫
0
x
f(t)dt,则由牛顿一莱布尼茨公式及积分中值定理,有 ∫
0
1
f(x)dx=F(1)一F(0)=F’(c)(1一0)=f(c),其中c∈(0,1),再由积分中值定理得[*],于是有f(0)=f(c)=f(x
0
)。 从而f(x)满足罗尔定理的条件,故存在ξ
1
∈(0,c),ξ
2
∈(c,x
0
),使得f’(ξ)=f’(ξ
2
)=0,再次利用罗尔定理,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](0,2),使得f"(ξ)=0。
解析
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0
考研数学一
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