设f(χ，y)在全平面有连续偏导数，曲线积分∫Lf(χ，y)dχ＋χcosydy在全平面与路径无关，且f(χ，y)dχ＋χcosydy＝t2，求f(χ，y)．

admin2016-07-20 98

问题设f(χ，y)在全平面有连续偏导数，曲线积分∫_Lf(χ，y)dχ＋χcosydy在全平面与路径无关，且

f(χ，y)dχ＋χcosydy＝t²，求f(χ，y)．

选项

答案(Ⅰ)∫_Lf(χ，y)dχ＋χcosydy在全平面与路径无关[*] [*] 积分得f(χ，y)＝siny＋C(χ)． (Ⅱ)求f(χ，y)转化为求C(χ)． f(χ，y)dχ＋χcosydy＝sinydχ＋χcosydy＋C(χ)dχ ＝sinydχ＋χdsiny＋d[∫₀^χC(s)ds]＝d[χsiny＋∫₀^χC(s)ds] [*] 即tsint²＋∫₀^tC(s)ds＝t² [*]sint²＋2t²cost²＋C(t)＝2t．因此f(χ，y)＝siny＋2χ－sinχ²－2χ²cosχ²．

解析

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设f(x)有连续导数，f(x)＞0，且对任意x，h，满足f(x＋h)＝∫xx＋hdt＋f(x)，f(1)＝求y＝f(x)与两个坐标轴及x＝1所围图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积
设函数y＝f(x)由参数方程(0＜t≤1)确定求f(x)在[1，﹢∞)上的值域
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