[2010年] 曲线y=x2与曲线y=alnx(a≠0)相切,则a=( ).

admin2019-04-05  68

问题 [2010年]  曲线y=x2与曲线y=alnx(a≠0)相切,则a=(    ).

选项 A、4e  
B、3e
C、2e
D、e

答案C

解析  两曲线相切,在切点处导数相等,函数值相等,由此可求出a.
解一  设切点为(x0,y0),则在切点处两曲线的纵坐标相等,得到y0=x02=a lnx0,即
x0=ex02/a.由在切点处两曲线的斜率相等,得到
y′∣x=x0=2x∣x=x0=2x0=(a lnx)′∣x=x0=a/x0,  即  a=2x02,  亦即  x02=a/2.
将其代入x0=ex02/a,有x0=ea/2a=e1/2,则a=2x02=2(e1/2)2=2e.仅(C)入选.
  解二  本例也可不必求出切点的纵坐标.由在切点处的斜率相等,得到x02=a/2.由在切点处的纵坐标相等,有x2=alnx,于是
  
故a/2=e,所以a=2e.仅(C)入选.
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