2. 考研
  3. [2010年] 曲线y=x2与曲线y=alnx(a≠0)相切，则a=( )．

[2010年] 曲线y=x2与曲线y=alnx(a≠0)相切，则a=( )．

admin2019-04-05  27
问题 [2010年]  曲线y=x2与曲线y=alnx(a≠0)相切，则a=(    )．
选项 A、4e  
B、3e
C、2e
D、e
答案C
解析  两曲线相切，在切点处导数相等，函数值相等，由此可求出a．
解一  设切点为(x0，y0)，则在切点处两曲线的纵坐标相等，得到y0=x02=a lnx0，即
x0=ex02/a．由在切点处两曲线的斜率相等，得到
y′∣x=x0=2x∣x=x0=2x0=(a lnx)′∣x=x0=a／x0，  即  a=2x02，  亦即  x02=a／2．
将其代入x0=ex02/a，有x0=ea/2a=e1/2，则a=2x02=2(e1/2)2=2e．仅(C)入选．
  解二  本例也可不必求出切点的纵坐标．由在切点处的斜率相等，得到x02=a／2．由在切点处的纵坐标相等，有x2=alnx，于是
  
故a／2=e，所以a=2e．仅(C)入选．
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考研数学二

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