[2010年] 曲线y=x2与曲线y=alnx(a≠0)相切，则a=( )．

admin2019-04-05 59

问题 [2010年] 曲线y=x²与曲线y=alnx(a≠0)相切，则a=( )．

选项 A、4e
B、3e
C、2e
D、e

答案C

解析  两曲线相切，在切点处导数相等，函数值相等，由此可求出a．
解一  设切点为(x₀，y₀)，则在切点处两曲线的纵坐标相等，得到y₀=x₀²=a lnx₀，即
x₀=e^x₀²/a．由在切点处两曲线的斜率相等，得到
y′∣_x=x₀=2x∣_x=x₀=2x₀=(a lnx)′∣_x=x₀=a／x₀，  即  a=2x₀²，  亦即  x₀²=a／2．
将其代入x₀=e^x₀²/a，有x₀=e^a/2a=e^1/2，则a=2x₀²=2(e^1/2)²=2e．仅(C)入选．
  解二  本例也可不必求出切点的纵坐标．由在切点处的斜率相等，得到x₀²=a／2．由在切点处的纵坐标相等，有x²=alnx，于是

故a／2=e，所以a=2e．仅(C)入选．

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考研数学二

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