(Ⅰ)比较∫01｜lnt｜[In(1+t)n]dt与∫01tn｜lnt｜dt(n=1，2，…)的大小，说明理由； (Ⅱ)记un=∫01｜lnt｜[ln(1+t)]ndt(n=1，2，…)，求极限。

admin2018-12-29 56

问题 (Ⅰ)比较∫₀¹｜lnt｜[In(1+t)ⁿ]dt与∫₀¹tⁿ｜lnt｜dt(n=1，2，…)的大小，说明理由；
(Ⅱ)记u_n=∫₀¹｜lnt｜[ln(1+t)]ⁿdt(n=1，2，…)，求极限

。

选项

答案(Ⅰ)令 f(t)=ln(1+t)—t。当0≤t≤1时，f′(t)=[*]≤0，则f(t)≤f(0)=0，即当0≤t≤1时，0≤ln(1+t)≤t≤1，从而[ln(1+t)]ⁿ≤tⁿ(n=1，2，…)。又由｜lnt｜≥0得 ∫₀¹｜lnt｜[ln(1+t)]ⁿdt≤∫₀¹tⁿ｜lnt｜dt(n=1，2，…)。 (Ⅱ)[*] 由夹逼准则得[*]，结合(Ⅰ)中结论得[*]。

解析

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考研数学一

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设曲线f(x)=x2n在点(1，1)处的切线与x轴的交点为(xn，0)，则=______．
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