设3阶矩阵A的特征值为2，－2，1，B=A2－A+E，其中E为3阶单位矩阵，则行列式|B|=_______．

admin2018-07-26 54

问题设3阶矩阵A的特征值为2，－2，1，B=A²－A+E，其中E为3阶单位矩阵，则行列式|B|=_______．

选项

答案21．

解析 1 因为B=A²－A+E=f(A)，其中多项式f(t)=t²－t+1，所以由A的特征值2，－2，1，得B的特征值为
f(2)=3，f(－2=7，f(1)=1
这是3阶矩阵B的全部特征值，由特征值的性质得
|B|=3×7×1=21
2 因为3阶矩阵A有3个互不相同的特征值，所以A相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵P，使得
P^－1AP

于是有
P^－1BP=P^－1(A²－A+E)P=(P^－1Ap)²－P^－1AP+E

两端取行列式，得|P|^－1|B||P|=21，即|B|=21．

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