2. 考研
  3. 设3阶矩阵A的特征值为2，－2，1，B=A2－A+E，其中E为3阶单位矩阵，则行列式|B|=_______．

设3阶矩阵A的特征值为2，－2，1，B=A2－A+E，其中E为3阶单位矩阵，则行列式|B|=_______．

admin2018-07-26  95
问题 设3阶矩阵A的特征值为2，－2，1，B=A2－A+E，其中E为3阶单位矩阵，则行列式|B|=_______．
选项
答案21．
解析 1 因为B=A2－A+E=f(A)，其中多项式f(t)=t2－t+1，所以由A的特征值2，－2，1，得B的特征值为
f(2)=3，f(－2=7，f(1)=1
这是3阶矩阵B的全部特征值，由特征值的性质得
|B|=3×7×1=21
2 因为3阶矩阵A有3个互不相同的特征值，所以A相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵P，使得
P－1AP

于是有
P－1BP=P－1(A2－A+E)P=(P－1Ap)2－P－1AP+E

两端取行列式，得|P|－1|B||P|=21，即|B|=21．
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考研数学三

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