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设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1,B=A2-A+E,其中E为3阶单位矩阵,则行列式|B|=_______.
设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1,B=A2-A+E,其中E为3阶单位矩阵,则行列式|B|=_______.
admin
2018-07-26
59
问题
设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1,B=A
2
-A+E,其中E为3阶单位矩阵,则行列式|B|=_______.
选项
答案
21.
解析
1 因为B=A
2
-A+E=f(A),其中多项式f(t)=t
2
-t+1,所以由A的特征值2,-2,1,得B的特征值为
f(2)=3,f(-2=7,f(1)=1
这是3阶矩阵B的全部特征值,由特征值的性质得
|B|=3×7×1=21
2 因为3阶矩阵A有3个互不相同的特征值,所以A相似于对角矩阵,即存在可逆矩阵P,使得
P
-1
AP
于是有
P
-1
BP=P
-1
(A
2
-A+E)P=(P
-1
Ap)
2
-P
-1
AP+E
两端取行列式,得|P|
-1
|B||P|=21,即|B|=21.
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考研数学三
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