设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1,B=A2-A+E,其中E为3阶单位矩阵,则行列式|B|=_______.

admin2018-07-26  38

问题 设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1,B=A2-A+E,其中E为3阶单位矩阵,则行列式|B|=_______.

选项

答案21.

解析 1 因为B=A2-A+E=f(A),其中多项式f(t)=t2-t+1,所以由A的特征值2,-2,1,得B的特征值为
f(2)=3,f(-2=7,f(1)=1
这是3阶矩阵B的全部特征值,由特征值的性质得
|B|=3×7×1=21
2 因为3阶矩阵A有3个互不相同的特征值,所以A相似于对角矩阵,即存在可逆矩阵P,使得
P-1AP

于是有
P-1BP=P-1(A2-A+E)P=(P-1Ap)2-P-1AP+E

两端取行列式,得|P|-1|B||P|=21,即|B|=21.
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