设连续型随机变量X1,X2的分布函数为F1(x),F2(x),概率密度为fl(x),f2(x).若随机变量X的分布函数为F(x)=aF1(x)+bF2(x)(a,b为常数),X的概率密度为f(x),则下列结论不一定正确的是 ( )

admin2019-01-24  85

问题 设连续型随机变量X1,X2的分布函数为F1(x),F2(x),概率密度为fl(x),f2(x).若随机变量X的分布函数为F(x)=aF1(x)+bF2(x)(a,b为常数),X的概率密度为f(x),则下列结论不一定正确的是    (    )

选项 A、a+b=1.
B、f(x)=af1(x)+bf2(x).
C、EX=aEXl+bEX2
D、X=aXl+bX2

答案D

解析 由分布函数的性质知F(+∞)=aF1(+∞)+bF2(+∞)=a+b=1,(A)正确.
X的分布函数为F(x)=aF1(x)+bF2(x),两边求导得f(x)=af1(x)+bf2(x),(B)正确.

故EX=aEX1+bEX2,(C)正确.
(D)不一定正确.反例如下:
若X1~N(0,1),X2~N(0,1),且X1,X2独立.
F(x)=0.5F1(x)+0.5F2(x)=0.5Φ(x)+0.5Φ(x)=Φ(x),故X~N(0,1).
当a=b=0.5时,0.5X1+0.5X2~N(0,0.5).
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