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  3. 设连续型随机变量X1，X2的分布函数为F1(x)，F2(x)，概率密度为fl(x)，f2(x)．若随机变量X的分布函数为F(x)＝aF1(x)＋bF2(x)(a，b为常数)，X的概率密度为f(x)，则下列结论不一定正确的是 ( )

设连续型随机变量X1，X2的分布函数为F1(x)，F2(x)，概率密度为fl(x)，f2(x)．若随机变量X的分布函数为F(x)＝aF1(x)＋bF2(x)(a，b为常数)，X的概率密度为f(x)，则下列结论不一定正确的是 ( )

admin2019-01-24  112
问题 设连续型随机变量X1，X2的分布函数为F1(x)，F2(x)，概率密度为fl(x)，f2(x)．若随机变量X的分布函数为F(x)＝aF1(x)＋bF2(x)(a，b为常数)，X的概率密度为f(x)，则下列结论不一定正确的是    (    )
选项 A、a＋b＝1．
B、f(x)＝af1(x)＋bf2(x)．
C、EX＝aEXl＋bEX2．
D、X＝aXl＋bX2．
答案D
解析 由分布函数的性质知F(＋∞)＝aF1(＋∞)＋bF2(＋∞)＝a＋b＝1，(A)正确．
X的分布函数为F(x)＝aF1(x)＋bF2(x)，两边求导得f(x)＝af1(x)＋bf2(x)，(B)正确．
由
故EX＝aEX1＋bEX2，(C)正确．
(D)不一定正确．反例如下：
若X1～N(0，1)，X2～N(0，1)，且X1，X2独立．
F(x)＝0．5F1(x)＋0．5F2(x)＝0．5Φ(x)＋0．5Φ(x)＝Φ(x)，故X～N(0，1)．
当a＝b＝0．5时，0．5X1＋0．5X2～N(0，0．5)．
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考研数学一

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