设ai=[ai1,ai2,ain]T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr，线性无关．已知β=[b1，b2，…，bn]T是线性方程组的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

admin2019-05-10 60

问题设a_i=[a_i1,a_i2,a_in]^T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α₁，α₂，…，α_r，线性无关．已知β=[b₁，b₂，…，b_n]^T是线性方程组

的非零解向量，试判断向量组α₁，α₂，…，α_r，β的线性相关性．

选项

答案设出k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r+kβ=0，要对此等式两边同时左乘β^T恒等变形，证明k=0．再由α₁，α₂，…，α_r线性无关，证明k₁=k₂=…=k_r=0．解一因β是线性方程组AX=0的解，即Aβ=0，而A=[*]，由Aβ=[*]β=0得 α₁^Tβ=α₂^Tβ=…=α_r^Tβ=0，因而β^Tα₁=β^Tα₂=…=β^Tα_r=0．设 k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r+kβ=0．左乘β^T，利用β^Tα_i=0(i=1，2，…，r)得 k₁β^Tα₁+k₂β^Tα₂+…+k_rβ^Tα_r+kβ^Tβ=kβ^Tβ=0，但β≠0，所以β^Tβ=b₁²+b₂²+…+b_n²＞0，于是k=0．代入式①得k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r=0．但α₁，α₂，…，α_r线性无关，所以k₁=k₂=…=k_r=0，故α₁，α₂，…，α_r，β线性无关．解二反证法．若α₁，α₂，…，α_r，β线性相关，则β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r，于是β^Tβ=k₁β^Tα₁+k₂β^Tα₂+…+k_rβ^Tα_r=0，从而β=0，这与β是非零解向量矛盾，故α₁，α₂，…，α_r，β线性无关．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ijV4777K

考研数学二

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设ai=[ai1,ai2,ain]T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr，线性无关．已知β=[b1，b2，…，bn]T是线性方程组的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

考研数学二

设二阶常系数非齐次线性微分方程y〞＋y′＋qy＝Q(χ)有特解y＝3e-4χ＋χ2＋3χ＋2，则Q(χ)＝_，该微分方程的通解为_．

设α，β是n维非零列向量，A＝αβT＋βαT．证明：r(A)≤2．

设A是m×n阶矩阵，若ATA＝O，证明：A＝O．

设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g′(χ)≠0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得

设A＝，已知A有三个线性无关的特征向量且λ＝2为矩阵A的二重特征值，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．

已知0是A＝的特征值，求a和A的其他特征值及线性无关的特征向量．

设A＝，若齐次方程组AX＝0的任一非零解均可用α线性表示，则a＝()．

设α1，α2，…，αn为n个线性无关的n维向量，且与向量β正交．证明：向量β为零向量．

设向量组线性相关，但任意两个向量线性无关，求参数t．

n维列向量组α1，…，αn-1线性无关，且与非零向量β正交．证明：α1，…αn-1，β线性无关．

女性，25岁，昨晚吃过一碗剩饭后，当夜发生上腹痛，持续恶心、呕吐。体温36．5℃，上腹部压痛，肠鸣音活跃。白细胞总数、分类及粪常规正常。首先应考虑的诊断是

依据《农村土地承包法》规定，承包期内，承包方全家迁入小城镇落户的，应当()。

在违约责任的承担中，损失赔偿额应当(　　)。

下列项目中计征个人所得税时，允许从总收入中减除费用1600元的有()。

偿债能力状况修正指标中，()是对企业资金挂账的分析解剖，反映了企业由于经营亏损挂账而导致的对所有者权益的侵蚀程度。

沙漠化是由于自然因素和人类活动的影响而引起生态系统的破坏，使原来非沙漠地区出现了类似沙漠环境的变化。()

毛泽东系统阐述中国革命三大法宝的文章是《(共产党人)发刊词》。()

现实与虚构的_让我们在《哈利.波特》系列电影中看到了一个虚幻与现实交错构成的现代伦敦。魔法与现代科技在一个_的伦敦找到了奇妙的契合点。填入划横线部分最恰当的一项是()。

如果一个钻机每0.15秒钻一个孔，那么，该钻机1小时能钻多少个孔?()

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=ξf’(ξ)ln

设ai=[ai1,ai2,ain]T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr，线性无关．已知β=[b1，b2，…，bn]T是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

考研数学二

设二阶常系数非齐次线性微分方程y〞＋y′＋qy＝Q(χ)有特解y＝3e-4χ＋χ2＋3χ＋2，则Q(χ)＝_______，该微分方程的通解为_______．

设α，β是n维非零列向量，A＝αβT＋βαT．证明：r(A)≤2．

设A是m×n阶矩阵，若ATA＝O，证明：A＝O．

设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g′(χ)≠0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得

设A＝，已知A有三个线性无关的特征向量且λ＝2为矩阵A的二重特征值，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．

已知0是A＝的特征值，求a和A的其他特征值及线性无关的特征向量．

设A＝，若齐次方程组AX＝0的任一非零解均可用α线性表示，则a＝()．

设α1，α2，…，αn为n个线性无关的n维向量，且与向量β正交．证明：向量β为零向量．

设向量组线性相关，但任意两个向量线性无关，求参数t．

n维列向量组α1，…，αn-1线性无关，且与非零向量β正交．证明：α1，…αn-1，β线性无关．

女性，25岁，昨晚吃过一碗剩饭后，当夜发生上腹痛，持续恶心、呕吐。体温36．5℃，上腹部压痛，肠鸣音活跃。白细胞总数、分类及粪常规正常。首先应考虑的诊断是

依据《农村土地承包法》规定，承包期内，承包方全家迁入小城镇落户的，应当()。

在违约责任的承担中，损失赔偿额应当( )。

下列项目中计征个人所得税时，允许从总收入中减除费用1600元的有()。

偿债能力状况修正指标中，()是对企业资金挂账的分析解剖，反映了企业由于经营亏损挂账而导致的对所有者权益的侵蚀程度。

沙漠化是由于自然因素和人类活动的影响而引起生态系统的破坏，使原来非沙漠地区出现了类似沙漠环境的变化。()

毛泽东系统阐述中国革命三大法宝的文章是《(共产党人)发刊词》。()

现实与虚构的_______让我们在《哈利.波特》系列电影中看到了一个虚幻与现实交错构成的现代伦敦。魔法与现代科技在一个_______的伦敦找到了奇妙的契合点。填入划横线部分最恰当的一项是()。

如果一个钻机每0.15秒钻一个孔，那么，该钻机1小时能钻多少个孔?()

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=ξf’(ξ)ln

设ai=[ai1,ai2,ain]T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr，线性无关．已知β=[b1，b2，…，bn]T是线性方程组的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

设二阶常系数非齐次线性微分方程y〞＋y′＋qy＝Q(χ)有特解y＝3e-4χ＋χ2＋3χ＋2，则Q(χ)＝_，该微分方程的通解为_．

在违约责任的承担中，损失赔偿额应当(　　)。

现实与虚构的_让我们在《哈利.波特》系列电影中看到了一个虚幻与现实交错构成的现代伦敦。魔法与现代科技在一个_的伦敦找到了奇妙的契合点。填入划横线部分最恰当的一项是()。