设ai=[ai1,ai2,ain]T(i=l,2,…,r;r<n)是n维实向量,且α1,α2,…,αr,线性无关.已知β=[b1,b2,…,bn]T是线性方程组 的非零解向量,试判断向量组α1,α2,…,αr,β的线性相关性.

admin2019-05-10  51

问题 设ai=[ai1,ai2,ain]T(i=l,2,…,r;r<n)是n维实向量,且α1,α2,…,αr,线性无关.已知β=[b1,b2,…,bn]T是线性方程组

的非零解向量,试判断向量组α1,α2,…,αr,β的线性相关性.

选项

答案设出k1α1+k2α2+…+krαr+kβ=0,要对此等式两边同时左乘βT恒等变形,证明k=0.再由α1,α2,…,αr线性无关,证明k1=k2=…=kr=0. 解一 因β是线性方程组AX=0的解,即Aβ=0,而A=[*],由Aβ=[*]β=0得 α1Tβ=α2Tβ=…=αrTβ=0,因而βTα1Tα2=…=βTαr=0. 设 k1α1+k2α2+…+krαr+kβ=0. 左乘βT,利用βTαi=0(i=1,2,…,r)得 k1βTα1+k2βTα2+…+krβTαr+kβTβ=kβTβ=0, 但β≠0,所以βTβ=b12+b22+…+bn2>0,于是k=0.代入式①得k1α1+k2α2+…+krαr=0. 但α1,α2,…,αr线性无关,所以k1=k2=…=kr=0,故α1,α2,…,αr,β线性无关. 解二 反证法.若α1,α2,…,αr,β线性相关,则β=k1α1+k2α2+…+krαr,于是βTβ=k1βTα1+k2βTα2+…+krβTαr=0,从而β=0,这与β是非零解向量矛盾,故α1,α2,…,αr,β线性无关.

解析
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