2. 考研
  3. 设ai=[ai1,ai2,ain]T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr，线性无关．已知β=[b1，b2，…，bn]T是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

设ai=[ai1,ai2,ain]T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr，线性无关．已知β=[b1，b2，…，bn]T是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

admin2019-05-10  100
问题 设ai=[ai1,ai2,ain]T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr，线性无关．已知β=[b1，b2，…，bn]T是线性方程组

的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．
选项
答案设出k1α1+k2α2+…+krαr+kβ=0，要对此等式两边同时左乘βT恒等变形，证明k=0．再由α1，α2，…，αr线性无关，证明k1=k2=…=kr=0． 解一 因β是线性方程组AX=0的解，即Aβ=0，而A=[*]，由Aβ=[*]β=0得 α1Tβ=α2Tβ=…=αrTβ=0，因而βTα1=βTα2=…=βTαr=0． 设 k1α1+k2α2+…+krαr+kβ=0． 左乘βT，利用βTαi=0(i=1，2，…，r)得 k1βTα1+k2βTα2+…+krβTαr+kβTβ=kβTβ=0， 但β≠0，所以βTβ=b12+b22+…+bn2＞0，于是k=0．代入式①得k1α1+k2α2+…+krαr=0． 但α1，α2，…，αr线性无关，所以k1=k2=…=kr=0，故α1，α2，…，αr，β线性无关． 解二 反证法．若α1，α2，…，αr，β线性相关，则β=k1α1+k2α2+…+krαr，于是βTβ=k1βTα1+k2βTα2+…+krβTαr=0，从而β=0，这与β是非零解向量矛盾，故α1，α2，…，αr，β线性无关．
解析
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考研数学二

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