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设ai=[ai1,ai2,ain]T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr，线性无关．已知β=[b1，b2，…，bn]T是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．
设ai=[ai1,ai2,ain]T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr，线性无关．已知β=[b1，b2，…，bn]T是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．
admin
2019-05-10
72
问题
设a
i
=[a
i1
,a
i2
,a
in
]
T
(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α
1
，α
2
，…，α
r
，线性无关．已知β=[b
1
，b
2
，…，b
n
]
T
是线性方程组
的非零解向量，试判断向量组α
1
，α
2
，…，α
r
，β的线性相关性．
选项
答案
设出k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
r
α
r
+kβ=0，要对此等式两边同时左乘β
T
恒等变形，证明k=0．再由α
1
，α
2
，…，α
r
线性无关，证明k
1
=k
2
=…=k
r
=0． 解一 因β是线性方程组AX=0的解，即Aβ=0，而A=[*]，由Aβ=[*]β=0得 α
1
T
β=α
2
T
β=…=α
r
T
β=0，因而β
T
α
1
=β
T
α
2
=…=β
T
α
r
=0． 设 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
r
α
r
+kβ=0． 左乘β
T
，利用β
T
α
i
=0(i=1，2，…，r)得 k
1
β
T
α
1
+k
2
β
T
α
2
+…+k
r
β
T
α
r
+kβ
T
β=kβ
T
β=0， 但β≠0，所以β
T
β=b
1
2
+b
2
2
+…+b
n
2
＞0，于是k=0．代入式①得k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
r
α
r
=0． 但α
1
，α
2
，…，α
r
线性无关，所以k
1
=k
2
=…=k
r
=0，故α
1
，α
2
，…，α
r
，β线性无关． 解二 反证法．若α
1
，α
2
，…，α
r
，β线性相关，则β=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
r
α
r
，于是β
T
β=k
1
β
T
α
1
+k
2
β
T
α
2
+…+k
r
β
T
α
r
=0，从而β=0，这与β是非零解向量矛盾，故α
1
，α
2
，…，α
r
，β线性无关．
解析
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考研数学二
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