设ai=[ai1,ai2,ain]T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr，线性无关．已知β=[b1，b2，…，bn]T是线性方程组的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

admin2019-05-10 66

问题设a_i=[a_i1,a_i2,a_in]^T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α₁，α₂，…，α_r，线性无关．已知β=[b₁，b₂，…，b_n]^T是线性方程组

的非零解向量，试判断向量组α₁，α₂，…，α_r，β的线性相关性．

选项

答案设出k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r+kβ=0，要对此等式两边同时左乘β^T恒等变形，证明k=0．再由α₁，α₂，…，α_r线性无关，证明k₁=k₂=…=k_r=0．解一因β是线性方程组AX=0的解，即Aβ=0，而A=[*]，由Aβ=[*]β=0得 α₁^Tβ=α₂^Tβ=…=α_r^Tβ=0，因而β^Tα₁=β^Tα₂=…=β^Tα_r=0．设 k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r+kβ=0．左乘β^T，利用β^Tα_i=0(i=1，2，…，r)得 k₁β^Tα₁+k₂β^Tα₂+…+k_rβ^Tα_r+kβ^Tβ=kβ^Tβ=0，但β≠0，所以β^Tβ=b₁²+b₂²+…+b_n²＞0，于是k=0．代入式①得k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r=0．但α₁，α₂，…，α_r线性无关，所以k₁=k₂=…=k_r=0，故α₁，α₂，…，α_r，β线性无关．解二反证法．若α₁，α₂，…，α_r，β线性相关，则β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r，于是β^Tβ=k₁β^Tα₁+k₂β^Tα₂+…+k_rβ^Tα_r=0，从而β=0，这与β是非零解向量矛盾，故α₁，α₂，…，α_r，β线性无关．

解析

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考研数学二

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设ai=[ai1,ai2,ain]T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr，线性无关．已知β=[b1，b2，…，bn]T是线性方程组的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

考研数学二

设f(χ)在[a，b]上有定义，M＞0且对任意的χ，y∈[a，b]，有｜f(χ)－f(y)｜≤M｜χ－y｜k．(1)证明：当k＞0时，f(χ)在[a，b]上连续；(2)证明：当k＞1时，f(χ)≡常数．

证明：连续函数取绝对值后函数仍保持连续性，举例说明可导函数取绝对值不一定保持可导性．

设α，β是n维非零列向量，A＝αβT＋βαT．证明：r(A)≤2．

设A为n阶非奇异矩阵，α是n维列向量，b为常数，P＝，Q＝．(1)计算PQ；(2)证明PQ可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．

设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)，且f(χ)在[a，b]上不恒为常数．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f′(ξ)＞0，f′(η)＜0．

设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g′(χ)≠0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得

设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得＝ξf′(ξ)．

设函数f(χ)在区间[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)＋f(1)＋f(2)＝3，f(3)＝1．证明：存在ξ∈(0，3)，使得f′(ξ)＝0．

设A为，n阶矩阵，若Ak-1α≠0，而Akα＝0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α线性无关．

设A为n阶矩阵，α1，α2，α3为n维列向量，其中α1≠0，且Aα1＝α1，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝α2＋α3，证明：α1，α2，α3线性无关．

下列药物不属于理气药的是

主承销商应当在超额配售选择权行使完成后的()个工作日内，通知相关银行，将应付资金支付给发行人。

上市公司发行股份的价格不得低于本次发行股份购买资产的董事会决议公告日前(　　)个交易日公司股票交易均价。

下列战略类型中，表明企业重点发展方向有()。

商业银行派生存款的能力()。

社会认知论范畴的理论很多，具体理论包括()。

依次填入下列横线处的词语，最恰当的一组是()英国《卫报》的一篇评论曾这样写道：“19世纪，英国教会世界如何___；20世纪，美国教会世界如何_；如果中国要_____21世纪，它必须教会世界如何可持续发展。”这可能就

设f(χ)在[0，1]上二阶可导，且｜f〞(χ)｜≤1(χ∈[0，1])，又f(0)＝f(1)，证明：｜f′(χ)｜≤(χ∈[0，1])．

设ai=[ai1,ai2,ain]T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr，线性无关．已知β=[b1，b2，…，bn]T是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

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证明：连续函数取绝对值后函数仍保持连续性，举例说明可导函数取绝对值不一定保持可导性．

设α，β是n维非零列向量，A＝αβT＋βαT．证明：r(A)≤2．

设A为n阶非奇异矩阵，α是n维列向量，b为常数，P＝，Q＝．(1)计算PQ；(2)证明PQ可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．

设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)，且f(χ)在[a，b]上不恒为常数．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f′(ξ)＞0，f′(η)＜0．

设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g′(χ)≠0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得

设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得＝ξf′(ξ)．

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设A为，n阶矩阵，若Ak-1α≠0，而Akα＝0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α线性无关．

设A为n阶矩阵，α1，α2，α3为n维列向量，其中α1≠0，且Aα1＝α1，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝α2＋α3，证明：α1，α2，α3线性无关．

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依次填入下列横线处的词语，最恰当的一组是()英国《卫报》的一篇评论曾这样写道：“19世纪，英国教会世界如何_______；20世纪，美国教会世界如何_______；如果中国要_______21世纪，它必须教会世界如何可持续发展。”这可能就

设f(χ)在[0，1]上二阶可导，且｜f〞(χ)｜≤1(χ∈[0，1])，又f(0)＝f(1)，证明：｜f′(χ)｜≤(χ∈[0，1])．

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上市公司发行股份的价格不得低于本次发行股份购买资产的董事会决议公告日前(　　)个交易日公司股票交易均价。

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