设ai=[ai1,ai2,ain]T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr，线性无关．已知β=[b1，b2，…，bn]T是线性方程组的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

admin2019-05-10 99

问题设a_i=[a_i1,a_i2,a_in]^T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α₁，α₂，…，α_r，线性无关．已知β=[b₁，b₂，…，b_n]^T是线性方程组

的非零解向量，试判断向量组α₁，α₂，…，α_r，β的线性相关性．

选项

答案设出k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r+kβ=0，要对此等式两边同时左乘β^T恒等变形，证明k=0．再由α₁，α₂，…，α_r线性无关，证明k₁=k₂=…=k_r=0．解一因β是线性方程组AX=0的解，即Aβ=0，而A=[*]，由Aβ=[*]β=0得 α₁^Tβ=α₂^Tβ=…=α_r^Tβ=0，因而β^Tα₁=β^Tα₂=…=β^Tα_r=0．设 k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r+kβ=0．左乘β^T，利用β^Tα_i=0(i=1，2，…，r)得 k₁β^Tα₁+k₂β^Tα₂+…+k_rβ^Tα_r+kβ^Tβ=kβ^Tβ=0，但β≠0，所以β^Tβ=b₁²+b₂²+…+b_n²＞0，于是k=0．代入式①得k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r=0．但α₁，α₂，…，α_r线性无关，所以k₁=k₂=…=k_r=0，故α₁，α₂，…，α_r，β线性无关．解二反证法．若α₁，α₂，…，α_r，β线性相关，则β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r，于是β^Tβ=k₁β^Tα₁+k₂β^Tα₂+…+k_rβ^Tα_r=0，从而β=0，这与β是非零解向量矛盾，故α₁，α₂，…，α_r，β线性无关．

解析

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考研数学二

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设ai=[ai1,ai2,ain]T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr，线性无关．已知β=[b1，b2，…，bn]T是线性方程组的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

考研数学二

设f(χ)在[a，b]上有定义，M＞0且对任意的χ，y∈[a，b]，有｜f(χ)－f(y)｜≤M｜χ－y｜k．(1)证明：当k＞0时，f(χ)在[a，b]上连续；(2)证明：当k＞1时，f(χ)≡常数．

证明：连续函数取绝对值后函数仍保持连续性，举例说明可导函数取绝对值不一定保持可导性．

设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g′(χ)≠0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得

设抛物线y＝aχ2＋bχ＋c(a＜0)满足：(1)过点(0，0)及(1，2)；(2)抛物线y＝aχ2＋bχ＋c与抛物线y＝－χ2＋2χ所围图形的面积最小，求a，b，c的值．

设A为，n阶矩阵，若Ak-1α≠0，而Akα＝0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α线性无关．

设向量组(Ⅰ)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5，若向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)的秩为3，而向量组(Ⅲ)的秩为4．证明：向量组α1，α2，α3，α5－α4的秩为4．

设α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn线性无关，而向量组α1，α2，…，αm，γ线性相关．证明：向量γ可由向量组α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn线性表示．

设向量组α1，…，αn为两两正交的非零向量组，证明：α1，…，αn线性无关，举例说明逆命题不成立．

消化性溃疡合并幽门梗阻最具诊断价值的临床表现是()。

咽峡

经中心静脉置管行营养支持的术后患者体温骤升至39．5℃，精神不振，寒战，无腹痛腹胀，伤口引流液少，敷料干燥清洁，应警惕其可能发生了

对胃、十二指肠溃疡急性大出血的非手术治疗护理，不妥的措施是

类脂质体是由下列哪种物质与(或不与)胆固醇及其他物质构成的单室或多室囊泡

引起虚寒证的阴阳失调是()

淮南煤收到基的元素分析成分为Car=55.42%、Har=5.81%、Oar=7.16%、Nar=0.93%、Sar=0.46%、Mar=8.85%，则该燃料煤的理论烟气量为()m3/kg。

如果企业速动比率很小，下列结论成立的是()。

A、Thebirthratecontrolpolicyindevelopinganddevelopedcountries.B、Theadvantagesanddisadvantagesofalargepopulation..

设ai=[ai1,ai2,ain]T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr，线性无关．已知β=[b1，b2，…，bn]T是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

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设抛物线y＝aχ2＋bχ＋c(a＜0)满足：(1)过点(0，0)及(1，2)；(2)抛物线y＝aχ2＋bχ＋c与抛物线y＝－χ2＋2χ所围图形的面积最小，求a，b，c的值．

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设α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn线性无关，而向量组α1，α2，…，αm，γ线性相关．证明：向量γ可由向量组α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn线性表示．

设向量组α1，…，αn为两两正交的非零向量组，证明：α1，…，αn线性无关，举例说明逆命题不成立．

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淮南煤收到基的元素分析成分为Car=55.42%、Har=5.81%、Oar=7.16%、Nar=0.93%、Sar=0.46%、Mar=8.85%，则该燃料煤的理论烟气量为()m3/kg。

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