2. 考研
  3. 设向量a=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件aTβ=0，记n阶矩阵A=aβT．求： (Ⅰ)A2； (Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量．

设向量a=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件aTβ=0，记n阶矩阵A=aβT．求： (Ⅰ)A2； (Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量．

admin2013-09-15  100
问题 设向量a=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件aTβ=0，记n阶矩阵A=aβT．求：
  (Ⅰ)A2；
  (Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量．
选项
答案(Ⅰ)由题设，a，β都是非零向量，且aT=o，则βTa=0，则A2=(aβT)(aβT)=(βTa)aβT=O，即A2为零矩阵． (Ⅱ)由特征值及特征向量的定义，设λ为A的特征值，x为其相应的特征向量， 则Ax=λx，x≠0，由前述知A2=D，从而0=AAx=λAx=λ2x，即λ=0，所以A的所有特征值都为0． 又A=[*]，不失一般性，可设a1≠0，b1≠0， 则由初等行变换可化A为[*]，由此Ax=0的基础解系为 [*] 所以A的特征向量为k1ξ1+k2ξ2+…+kn-1ξn-1，其中后。k1，k2，…，kn-1是不全为0的任意常数．
解析
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考研数学二

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