2. 考研
  3. 设f(x)为偶函数，且满足f′(x)+2f(x)-3|f(t-x)dt=-3x+2，求f(x).

设f(x)为偶函数，且满足f′(x)+2f(x)-3|f(t-x)dt=-3x+2，求f(x).

admin2022-08-19  35
问题 设f(x)为偶函数，且满足f′(x)+2f(x)-3|f(t-x)dt=-3x+2，求f(x).
选项
答案∫0xf(t-x)dt=-∫0xf(t-x)d(x-t)=-∫x0f(-u)du=∫0xf(u)du， 则有f′(x)+2f(x)-3∫0xf(u)du=-3x+2，因为f(x)为偶函数，所以f′(x)是奇函数，于是f′(0)=0，代入上式得f(0)=1. 将f′(x)+2f(x)-3|f(u)du=-3x+2两边对x求导得 f″(x)+2f′(x)-3f(x)=-3， 其通解为f(x)=C1ex+C2e-3x+1，将初始条件代入得f(x)=1.
解析
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考研数学三

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