2. 考研
  3. 设A3×3＝(α1，α2，α3)，方程组Ax＝β有通解kξ﹢η＝(1，2，－3)T﹢ (2，－1，1)T，其中k为任意常数．证明： (I)方程组(α1，α2)x＝β有唯一解，并求该解； (Ⅱ)方程组(α1﹢α2﹢α3﹢β，α1，α2，α3)x－β有无穷多解

设A3×3＝(α1，α2，α3)，方程组Ax＝β有通解kξ﹢η＝(1，2，－3)T﹢ (2，－1，1)T，其中k为任意常数．证明： (I)方程组(α1，α2)x＝β有唯一解，并求该解； (Ⅱ)方程组(α1﹢α2﹢α3﹢β，α1，α2，α3)x－β有无穷多解

admin2018-12-21  31
问题 设A3×3＝(α1，α2，α3)，方程组Ax＝β有通解kξ﹢η＝(1，2，－3)T﹢ (2，－1，1)T，其中k为任意常数．证明：
(I)方程组(α1，α2)x＝β有唯一解，并求该解；
(Ⅱ)方程组(α1﹢α2﹢α3﹢β，α1，α2，α3)x－β有无穷多解，并求其通解．
选项
答案由题设条件(α1，α2，α3)x＝β有通解k(1，2，－3)T﹢(2，－1，1)T，知 r(α1，α2，α3)＝r(α1，α2，α3，β)＝2， (*) α1﹢2α2－3α3＝0， (**) β＝(k﹢22)α1﹢(2k－1)α2﹢(－3k﹢1)α3． (***) (I)由(**)式得α3[*]1(α1﹢2α2)，知α1，α2线性无关(若α1，α2线性相关，又α3＝[*](α1﹢2α2)，得r(α1，α2，α3)＝1，这和(*)式矛盾)．由(*)式知α1，α2是向量组α1，α2，α3及α1，α2，α3，β的极大线性无关组，从而有r(α11，α2)＝r(α1，α2，β)＝2，方程组(α1，α2)x＝β有唯一解． 由(***)式取α3的系数－3k﹢1＝0，即取 [*]，即(α1，α2)x＝β的唯一解为[*] (Ⅱ)因r(α1，α2，α3)＝r(α1，α2，α3，β)＝r(α1﹢α2﹢α3﹢β，α1，α2，α3)＝r(α1﹢α2﹢α3﹢β，α1，α2，α3，β)＝2，故方程组(α1﹢α2﹢α3﹢β，α1，α2，α3)x＝β有无穷多解，且其通解形式为k1ξ1﹢k2ξ2﹢η*，其中ξ1，ξ2为对应的齐次方程组的基础解系，η*为方程组的特解，k1，k2为任意常数． 由(**)式 α1﹢2α2－3α3＝(α1，α2，α3)[*]＝0． 得(α1﹢α2﹢α3﹢β，α1，α2，α3)[*] 在(***)式中取k＝0，有 2α1－α2﹢α3＝(α1，α2，α3)[*]＝β， 则得(α1﹢α2﹢α3﹢β，α1，α2，α3)[*] 观察得(α1﹢α2﹢α3﹢β，α1，α2，α3)[*] 故方程组(α1﹢α2﹢α3﹢β，α1，α2，α3)x＝β的通解为 k1ξ1﹢k2ξ2﹢η*＝k1ξ1﹢k2(η1－η2)﹢η1 ＝k1(0，1，2，－3)T﹢k2(－1，3，0，2)T﹢(0，2，－1，1)T， 其中k1，k2为任意常数．
解析
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考研数学二

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