2. 考研
  3. 设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1,α2,α3，令β=α1+α2+α3，证明：β，Aβ，A2β线性无关．

设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1,α2,α3，令β=α1+α2+α3，证明：β，Aβ，A2β线性无关．

admin2019-03-21  65
问题 设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1,α2,α3，令β=α1+α2+α3，证明：β，Aβ，A2β线性无关．
选项
答案因为Aαi=λiαi(i=1，2，3)，则Aβ=A(α1+α2+α3) =Aα1+Aα2+Aα3 =λ1α1+λ2α2+λ3α3，A2β=A(Aβ) =A(λ1α1+λ2α2+λ3α3) =λ12α1+λ22α2+λ32α3． 设存在常数k1，k2，k3，使k1β+k2Aβ+k3A2β=0，进而得(k1+k2λ1+k3λ12)α1+(k1+k2λ2+k3λ22)α2+(k1+k2λ3+k3λ32)α3=0． 由于α1,α2,α3线性无关，于是有[*]其系数行列式[*] 故k1=k2=k3=0，所以，β，AB，A2β线性无关．
解析 本题考查方阵不同的特征值对应的特征向量是线性无关的性质和向量组线性相关性的证明．
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考研数学二

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