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设f(u,v)具有连续偏导数,且f’u(u,v)+f’v(u,v)=sin(u+v)eu+v,求y(x)=e—2xf(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。
设f(u,v)具有连续偏导数,且f’u(u,v)+f’v(u,v)=sin(u+v)eu+v,求y(x)=e—2xf(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。
admin
2020-03-16
51
问题
设f(u,v)具有连续偏导数,且f’
u
(u,v)+f’
v
(u,v)=sin(u+v)e
u+v
,求y(x)=e
—2x
f(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。
选项
答案
由y(x)=e
—2x
f(x,x),有 y’(x)=一2e
—2x
f(x,x)+e
—2x
[f’
1
(x,x)+f’
2
(x,x)], 由f’
u
(u,v)+f’
v
(u,v)=sin(u+v)e
u+v
可得 f’
1
(x,x)+f’
2
(x,x)=(sin2x)e
2x
。 于是y(x)满足一阶线性微分方程 y’(x)+2y(x)=sin2x, 通解为 y(x)=e
—2x
(∫sin2x·e
2x
dx+C), 由分部积分公式,可得 ∫sin2x·e
2x
dx=[*](sin2x一cos2x)e
2x
, 所以 y(x)=[*](sin2x一cos2x)+C
—2x
。
解析
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