设f(u,v)具有连续偏导数,且f’u(u,v)+f’v(u,v)=sin(u+v)eu+v,求y(x)=e—2xf(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。

admin2020-03-16  29

问题 设f(u,v)具有连续偏导数,且f’u(u,v)+f’v(u,v)=sin(u+v)eu+v,求y(x)=e—2xf(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。

选项

答案由y(x)=e—2xf(x,x),有 y’(x)=一2e—2xf(x,x)+e—2x[f’1(x,x)+f’2(x,x)], 由f’u(u,v)+f’v(u,v)=sin(u+v)eu+v可得 f’1(x,x)+f’2(x,x)=(sin2x)e2x。 于是y(x)满足一阶线性微分方程 y’(x)+2y(x)=sin2x, 通解为 y(x)=e—2x(∫sin2x·e2xdx+C), 由分部积分公式,可得 ∫sin2x·e2xdx=[*](sin2x一cos2x)e2x, 所以 y(x)=[*](sin2x一cos2x)+C—2x

解析
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