设A，B是n阶实对称可逆矩阵，则存在n阶可逆矩阵P，使得下列关系式 ①PA=B； ②P-1ABP=BA； ③P-1AP=B； ④PTA2P=B2 成立的个数是( )．

admin2021-07-27 53

问题设A，B是n阶实对称可逆矩阵，则存在n阶可逆矩阵P，使得下列关系式
①PA=B；
②P^-1ABP=BA；
③P^-1AP=B；
④P^TA²P=B²
成立的个数是( )．

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案C

解析逐个分析关系式是否成立．
①式成立．因为A，B均是n阶可逆矩阵，故存在可逆矩阵Q，W，使QA=E，WB=E(可逆矩阵可通过初等行变换化为单位矩阵)，故有QA=WB，W^-1QA=B．记W^-1Q=P，则有PA=B成立，故①式成立．
②式成立．因为A，B均是n阶可逆矩阵，可取P=A，则有A^-1(AB)A=(A^-1A)BA=BA，故②式成立．
③式不成立．因为A，B均是n阶实对称矩阵，它们均可以相似于对角矩阵，但不一定相似于同一个对角矩阵，即A，B不一定相似．对任意可逆矩阵P，均有P^-1AP=P^-1EP=E≠B，故③式不成立．
④式成立．因为A，B均是实对称可逆矩阵，其特征值均不为零，A²，B²的特征值均大于零．故A²，B²的正惯性指数为n(秩为n，负惯性指数为0)，故A²合同于B²，即存在可逆矩阵P，使得P^TA²P=B²，故④式成立．由以上分析，故应选(C)．

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考研数学二

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