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  3. 设向量α=(1，1，-1)T是矩阵A=的一个特征向量，则

设向量α=(1，1，-1)T是矩阵A=的一个特征向量，则

admin2016-01-23  57
问题 设向量α=(1，1，-1)T是矩阵A=的一个特征向量，则
选项 A、矩阵A能相似对角化，且秩r(A)=3
B、矩阵A不能相似对角化，且秩r(A)=3
C、矩阵A能相似对角化，且秩r(A)<3
D、矩阵A不能相似对角化，且秩r(A)<3
答案A
解析 本题考查方阵的相似对角化问题．要先根据题设条件求出参数a，b的值，进而求出A的全部特征值，看有无重根，再判定．
    解：设α=(1，1，-1)T是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，则有Aα=λα，即

解得λ=-1，a=2，b=0，于是A=，显然r(A)=3，且A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=-1．矩阵A能否相似对角化取决于λ1=λ2=2是否有两个线性无关的特征向量．由r(λ1E-A)=r=1．可知二重特征值λ=2有两个线性无关的特征向量，故A可相似对角化．
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考研数学一

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