设向量α=(1,1,-1)T是矩阵A=的一个特征向量,则

admin2016-01-23  30

问题 设向量α=(1,1,-1)T是矩阵A=的一个特征向量,则

选项 A、矩阵A能相似对角化,且秩r(A)=3
B、矩阵A不能相似对角化,且秩r(A)=3
C、矩阵A能相似对角化,且秩r(A)<3
D、矩阵A不能相似对角化,且秩r(A)<3

答案A

解析 本题考查方阵的相似对角化问题.要先根据题设条件求出参数a,b的值,进而求出A的全部特征值,看有无重根,再判定.
    解:设α=(1,1,-1)T是矩阵A的属于特征值λ的特征向量,则有Aα=λα,即

解得λ=-1,a=2,b=0,于是A=,显然r(A)=3,且A的特征值为λ12=2,λ3=-1.矩阵A能否相似对角化取决于λ12=2是否有两个线性无关的特征向量.由r(λ1E-A)=r=1.可知二重特征值λ=2有两个线性无关的特征向量,故A可相似对角化.
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