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已知3阶矩阵A与3维列向量α,若α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα-2A2α,试求矩阵A的特征值与特征向量.
已知3阶矩阵A与3维列向量α,若α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα-2A2α,试求矩阵A的特征值与特征向量.
admin
2018-06-12
29
问题
已知3阶矩阵A与3维列向量α,若α,Aα,A
2
α线性无关,且A
3
α=3Aα-2A
2
α,试求矩阵A的特征值与特征向量.
选项
答案
由于A
3
α+2A
2
α-3Aα=0,有 A(A
2
α+2Aα-3α)=0=0(A
2
α+2Aα-3α). 因为α,Aα,A
2
α线性无关,故必有A
2
α+2Aα-3α≠0.所以λ=0是A的特征值,而k
1
(A
2
α+2Aα-3α)(k
1
≠0)是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量. 类似地,A
3
α+2A
2
α-3Aα=0,有 (A-E)(A
2
α+3Aα)=0=0(A
2
α+3Aα), (A+3E)(A
2
α-Aα)=0=0(A
2
α-Aα). 所以,λ=1是A的特征值,而k
2
(A
2
α+3Aα)(k
2
≠0)是属λ=1的特征向量;λ=-3是A的特征值,而k
3
(A
2
α-Aα)(k
3
≠0)是属于λ=-3的特征向量.
解析
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0
考研数学一
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