用配方法化下列二次型为标准型 (1)f(x1,x2,x3)=x12+2x22+2x1x2—2x1x3+2x2x3. (2)f(x1,x2,x3) =x1x2+x1x3+x2x3.

admin2018-11-20  24

问题 用配方法化下列二次型为标准型
(1)f(x1,x2,x3)=x12+2x22+2x1x2—2x1x3+2x2x3
(2)f(x1,x2,x3)  =x1x2+x1x3+x2x3

选项

答案(1)f(x1,x2,x3)=x12+2x22+2x1x2—2x1x3+2x2x3 = [x12+2x1x2—2x1x3+(x2一x3)2]一(x2一x3)2+2x22+2x23 =(x1+x2一x3)2+x22+4x2x3一x32 =(x1+x2一x3)2+x22+4x2x3+4x32一5x32 =(x1+x2一x3)2+(x2+2x3)2—5x32. [*] 原二次型化为f(x1,x2,x3)=y12+y22一5y32. 从上面的公式反解得变换公式: [*] 变换矩阵 [*] (2)这个二次型没有平方项,先作一次变换 [*] f(x1,x2,x3) =y12一y22+2y1y3. 虽然所得新二次型还不是标准的,但是有平方项了,可以进行配方了: y12一y22+2y1y3=(y1+y3)2一y22一y32 [*] 则f(x1,x2,x3)=z12一z22一z32. [*]

解析
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