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设A为m×n矩阵.证明:对任意m维列向量b,非齐次线性方程组Aχ=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m.
设A为m×n矩阵.证明:对任意m维列向量b,非齐次线性方程组Aχ=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m.
admin
2017-06-26
49
问题
设A为m×n矩阵.证明:对任意m维列向量b,非齐次线性方程组Aχ=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m.
选项
答案
必要性:由必要性假定,对ε
j
=(0,…,0,1,0,…,0)
T
(第j个分量为1,其余分量均为零),方程组Aχ=ε
j
有解c
j
,即Ac
j
=ε
j
(j=1,2,…,m),故有[Ac
1
Ac
2
… Ac
m
]=[ε
1
ε
2
… ε
m
]=E
m
,记矩阵c=[c
1
c
2
… c
m
],则有Ac=E
m
,故有m=r(E
m
)=r(Ac)≤r(A)≤m,[*]r(A)=m;充分性:若r(A)=m,则A的行向量组线性无关,故增广矩阵[*]的行向量组也线性无关,[*]=m,由有解判定定理知方程组Aχ=b有解,其中b为任意m维列向量.
解析
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考研数学三
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