设A为m×n矩阵．证明：对任意m维列向量b，非齐次线性方程组Aχ＝b恒有解的充分必要条件是r(A)＝m．

admin2017-06-26 51

问题设A为m×n矩阵．证明：对任意m维列向量b，非齐次线性方程组Aχ＝b恒有解的充分必要条件是r(A)＝m．

选项

答案必要性：由必要性假定，对ε_j＝(0，…，0，1，0，…，0)^T(第j个分量为1，其余分量均为零)，方程组Aχ＝ε_j有解c_j，即Ac_j＝ε_j(j＝1，2，…，m)，故有[Ac₁ Ac₂ … Ac_m]＝[ε₁ ε₂ … ε_m]＝E_m，记矩阵c＝[c₁ c₂ … c_m]，则有Ac＝E_m，故有m＝r(E_m)＝r(Ac)≤r(A)≤m，[*]r(A)＝m；充分性：若r(A)＝m，则A的行向量组线性无关，故增广矩阵[*]的行向量组也线性无关，[*]＝m，由有解判定定理知方程组Aχ＝b有解，其中b为任意m维列向量．

解析

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考研数学三

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