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  3. 设A为m×n矩阵．证明：对任意m维列向量b，非齐次线性方程组Aχ＝b恒有解的充分必要条件是r(A)＝m．

设A为m×n矩阵．证明：对任意m维列向量b，非齐次线性方程组Aχ＝b恒有解的充分必要条件是r(A)＝m．

admin2017-06-26  45
问题 设A为m×n矩阵．证明：对任意m维列向量b，非齐次线性方程组Aχ＝b恒有解的充分必要条件是r(A)＝m．
选项
答案必要性：由必要性假定，对εj＝(0，…，0，1，0，…，0)T(第j个分量为1，其余分量均为零)，方程组Aχ＝εj有解cj，即Acj＝εj(j＝1，2，…，m)，故有[Ac1 Ac2 … Acm]＝[ε1 ε2 … εm]＝Em，记矩阵c＝[c1 c2 … cm]，则有Ac＝Em，故有m＝r(Em)＝r(Ac)≤r(A)≤m，[*]r(A)＝m；充分性：若r(A)＝m，则A的行向量组线性无关，故增广矩阵[*]的行向量组也线性无关，[*]＝m，由有解判定定理知方程组Aχ＝b有解，其中b为任意m维列向量．
解析
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考研数学三

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