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已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2。 求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化为标准形；
已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2。 求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化为标准形；
admin
2019-04-22
22
问题
已知二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=(1一a)x
1
2
+(1一a)x
2
2
+2x
3
2
+2(1+a)x
1
x
2
的秩为2。
求正交变换x=Qy，把f(x
1
，x
2
，x
3
)化为标准形；
选项
答案
由(I)中结论a=0，则 [*] 由特征多项式 [*] 得矩阵A的特征值λ
1
=λ
2
=2，λ
3
=0。 当λ=2，由(2E—A)x=0得特征向量α
1
=(1，1，0)
T
，α
2
=(0，0，1)
T
。 当λ=0，由(OE—A)x=0得特征向量α
3
=(1，一1，0)
T
。 容易看出α
1
,α
2
,α
3
已两两正交，故只需将它们单位化： [*] 那么令Q=(γ
1
，γ
2
，γ
3
)=[*] 则在正交变换X=Q)，下，二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)化为 标准形f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax=y
T
Ay=2y
2
2
+2y
2
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/jkV4777K
0
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