已知二次型f(x1,x2,x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2。 求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化为标准形;

admin2019-04-22  27

问题 已知二次型f(x1,x2,x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2。
求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化为标准形;

选项

答案由(I)中结论a=0,则 [*] 由特征多项式 [*] 得矩阵A的特征值λ12=2,λ3=0。 当λ=2,由(2E—A)x=0得特征向量α1=(1,1,0)T,α2=(0,0,1)T。 当λ=0,由(OE—A)x=0得特征向量α3=(1,一1,0)T。 容易看出α123已两两正交,故只需将它们单位化: [*] 那么令Q=(γ1,γ2,γ3)=[*] 则在正交变换X=Q),下,二次型f(x1,x2,x3)化为 标准形f(x1,x2,x3)=xTAx=yTAy=2y22+2y22

解析
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