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一电子仪器由两个部件构成,以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位:千小时).已知X和Y的联合分布函数为 问X与Y是否相互独立?
一电子仪器由两个部件构成,以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位:千小时).已知X和Y的联合分布函数为 问X与Y是否相互独立?
admin
2019-05-08
21
问题
一电子仪器由两个部件构成,以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位:千小时).已知X和Y的联合分布函数为
问X与Y是否相互独立?
选项
答案
解一 设X,Y的分布函数分别为F
X
(x),F
Y
(y),则 [*] 故当x≥0,y≥0时,有 F
X
(x)F
Y
(y)=(1-e
-0.5x
)(1-e
-0.5y
)=1-e
-0.5x
-e
-0.5y
+e
-0.5(x+y)
=F(x,y). 而当x>0或y<0时,有 F
x
(x)F
Y
(y)=0=F(x,y), 所以对任意x,y,均有F(x,y)=F
x
(x)F
Y
(y),则X与Y独立. 解二 先求出(X,Y)的联合概率密度函数f(x,y)及边缘密度f
X
(x),f
Y
(y).当x≥0,y≥0时,有 [*] 于是有 [*] 因而[*]同理,可求得[*] 易验证对x≥0,y≥0,均有 f(x,y)=f
X
(x)f
Y
(y). 对x<0或y<0,也有f(x,y)=f
X
(x)·f
Y
(y)=0,故对任意x,y均有f(x,y)=f
X
(x)f
Y
(y),由命题3.3.5.1(1)知,X与Y相互独立. 注:命题3.3.5.1 (1)对任意二维随机变量(X,Y),有X,Y相互独立[*]对任意x,y,有F(x,y)=F
X
(x)F
Y
(y);X,Y相互独立[*]对任意x,y,有f(x,y)=f
X
(x)f
Y
(y).
解析
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考研数学三
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