(2005年)已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1。证明： (I)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1一ξ； (Ⅱ)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f′(η)f′(ζ)=1。

admin2018-03-11 25

问题 (2005年)已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1。证明：
(I)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1一ξ；
(Ⅱ)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f′(η)f′(ζ)=1。

选项

答案(I)令F(x)=f(x)一1+x，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=一1＜0，F(1)=1＞0，于是由零点定理知，存在ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=1一ξ。 (Ⅱ)在[0，ξ]和[ξ，1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，存在两个不同的点η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，使得 [*] 于是[*]

解析

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