(2005年)已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1。证明: (I)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1一ξ; (Ⅱ)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f′(η)f′(ζ)=1。

admin2018-03-11  22

问题 (2005年)已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1。证明:
    (I)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1一ξ;
    (Ⅱ)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f′(η)f′(ζ)=1。

选项

答案(I)令F(x)=f(x)一1+x,则F(x)在[0,1]上连续,且F(0)=一1<0,F(1)=1>0,于是由零点定理知,存在ξ∈(0,1),使得F(ξ)=0,即f(ξ)=1一ξ。 (Ⅱ)在[0,ξ]和[ξ,1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理,存在两个不同的点η∈(0,ξ),ζ∈(ξ,1),使得 [*] 于是[*]

解析
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