设A是n阶正定矩阵，x是n维列向量，E是n阶单位矩阵， (Ⅰ)计算PW； (Ⅱ)写出二次型|f=|W|的矩阵表达式，并讨论f的正定性．

admin2016-04-14 43

问题设A是n阶正定矩阵，x是n维列向量，E是n阶单位矩阵，

(Ⅰ)计算PW；
(Ⅱ)写出二次型|f=|W|的矩阵表达式，并讨论f的正定性．

选项

答案[*] =(一1)ⁿ|A|，A^－1x=(一1)ⁿx^T|A|A^－1x=(一1)ⁿx^TA^*x．由A是正定矩阵知，|A|＞0，且A的特征值λ_i＞0(i=1，2，…，n)，A^*的特征值为[*]＞0(i=1，2，…，n)．故A^*也是正定矩阵，故当n=2k时，f=(一1)^2kx^TA^*x=x^TA^*x是正定二次型；当n=2k+1时，f=(一1)^2k+1，A^*x=一x^TA^*x是负定二次型．

解析

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考研数学一

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