设A是n阶正定矩阵,x是n维列向量,E是n阶单位矩阵, (Ⅰ)计算PW; (Ⅱ)写出二次型|f=|W|的矩阵表达式,并讨论f的正定性.

admin2016-04-14  23

问题 设A是n阶正定矩阵,x是n维列向量,E是n阶单位矩阵,

(Ⅰ)计算PW;
(Ⅱ)写出二次型|f=|W|的矩阵表达式,并讨论f的正定性.

选项

答案[*] =(一1)n|A|,A-1x=(一1)nxT|A|A-1x=(一1)nxTA*x. 由A是正定矩阵知,|A|>0,且A的特征值λi>0(i=1,2,…,n),A*的特征值为[*]>0(i=1,2,…,n). 故A*也是正定矩阵,故 当n=2k时,f=(一1)2kxTA*x=xTA*x是正定二次型; 当n=2k+1时,f=(一1)2k+1,A*x=一xTA*x是负定二次型.

解析
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