设四维向量组α1=(1+a,1,1,1)T,α2=(2,2+a,2,2)T,α3=(3,3,3+a,3)T,α4=(4,4,4,4+a)T,问a为何值时α1,α2,α3,α4线性相关?当α1,α2,α3,α4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量

admin2021-01-25  20

问题 设四维向量组α1=(1+a,1,1,1)T,α2=(2,2+a,2,2)T,α3=(3,3,3+a,3)T,α4=(4,4,4,4+a)T,问a为何值时α1,α2,α3,α4线性相关?当α1,α2,α3,α4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。

选项

答案记以α1,α2,α3,α4为列向量的矩阵为A,则 |A|=[*]=a3(10+a)。 于是当|A|=0,即a=0或a=一10时,α1,α2,α3,α4线性相关。 0时,显然α1是一个极大线性无关组,且α2=2α1,α3=3α1,α4=4α1; 当a=一10时,矩阵A如下: [*] 由于此时A有三阶非零行列式,即 [*] 所以α1,α2,α3为极大线性无关组,且α1234=0,即α4=一α123

解析
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