2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]可导且f(1)=e1-x2f(x)dx，求证：∈(0，1)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．

设f(x)在[0，1]可导且f(1)=e1-x2f(x)dx，求证：∈(0，1)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．

admin2021-11-09  19
问题 设f(x)在[0，1]可导且f(1)=e1-x2f(x)dx，求证：∈(0，1)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．
选项
答案即证f’(x)-2xf(x)在(0，1)存在零点[*]e-x2[f’(x)-2xf(x)]在(0，1)存在零点[*][e-x2f(x)]’在(0，1)存在零点． 作辅助函数F(x)=e-x2f(x)时，按题设还要找一个η∈(0，1)，使得F(1)=F(η)，即e-1f(1)=e-η2f(η)．由题设及积分中值定理，[*]．使得 f(1)=[*]e1-x2f(x)dx=[*]e-η2+1f(η)=e-η2+1f(η)． 于是F(1)=F(η)． 令F(x)=e-x2f(x)，则F(x)g=[0，1]可导，且 F(1)=e-1f(1)=2e-1[*]e1-x2f(x)dx[*] 因此，由罗尔定理，[*]∈(0，η)[*](0，1)，使得 F’(ξ)=e-ξ2，f’(ξ)-2ξf(ξ)e-ξ2=0，即f’(ξ)=2ξf(ξ)．
解析
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考研数学二

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