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设f(x)在[0,1]可导且f(1)=e1-x2f(x)dx,求证:∈(0,1),使得f’(ξ)=2ξf(ξ).
设f(x)在[0,1]可导且f(1)=e1-x2f(x)dx,求证:∈(0,1),使得f’(ξ)=2ξf(ξ).
admin
2021-11-09
41
问题
设f(x)在[0,1]可导且f(1)=
e
1-x
2
f(x)dx,求证:
∈(0,1),使得f’(ξ)=2ξf(ξ).
选项
答案
即证f’(x)-2xf(x)在(0,1)存在零点[*]e
-x
2
[f’(x)-2xf(x)]在(0,1)存在零点[*][e
-x
2
f(x)]’在(0,1)存在零点. 作辅助函数F(x)=e
-x
2
f(x)时,按题设还要找一个η∈(0,1),使得F(1)=F(η),即e
-1
f(1)=e
-η
2
f(η).由题设及积分中值定理,[*].使得 f(1)=[*]e
1-x
2
f(x)dx=[*]e
-η
2
+1
f(η)=e
-η
2
+1
f(η). 于是F(1)=F(η). 令F(x)=e
-x
2
f(x),则F(x)g=[0,1]可导,且 F(1)=e
-1
f(1)=2e
-1
[*]e
1-x
2
f(x)dx[*] 因此,由罗尔定理,[*]∈(0,η)[*](0,1),使得 F’(ξ)=e
-ξ
2
,f’(ξ)-2ξf(ξ)e
-ξ
2
=0,即f’(ξ)=2ξf(ξ).
解析
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考研数学二
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